什么是万花尺（Spirograph）？
万花尺曲线是附着在圆上的一点、该圆沿固定圆无滑动滚动时的轨迹。动圆在内侧滚动时得到内旋轮线（hypotrochoid）；在外侧则得到外旋轮线（epitrochoid）。经典 Spirograph 玩具把这类轮转曲线普及成彩色嵌套环与星形曼陀罗。
内旋轮线与外旋轮线
内旋轮线来自内侧滚动；外旋轮线来自外侧滚动。两者同属轮转曲线家族，远在塑料齿轮之前——自十七世纪起——就被数学家研究。特例包括椭圆、三尖瓣线、星形线、心脏线和肾形线，取决于半径比与笔偏移。
参数 R、r 与 d
三个数塑造曲线。R 是固定圆半径，r 是滚动圆半径，d 是滚动圆心到笔尖的距离（笔偏移）。改变 R:r 决定瓣数；改变 d 则让轨迹在近圆与深尖或交叉图案之间变化。经典玩具中，齿轮上选的孔位即设定 d。
闭合曲线与齿轮比
当半径比 R/r 为有理数时——通常用与齿轮齿数对应的互质整数表示——绘制的曲线会在有限圈后闭合。无理比永远不完全闭合，会填满一条密带。因此带整数齿的玩具齿轮产生整齐重复的图案，而任意数字比率可能看起来“几乎闭合”，直到等足够久——或强制有理逼近。
Denys Fisher 与万花尺玩具
英国工程师 Denys Fisher 于 1960 年代中期（常记为 1965 年）推出 Spirograph 玩具，后由 Kenner 等公司销售。塑料环、齿轮与笔让儿童和成人无需懂方程即可绘制内旋轮线。品牌名深入人心，许多人把任何这类轮转曲线——哪怕是数字绘制的——都叫做“万花尺/spirograph”。
从纸上曼陀罗到数字绘制
万花尺图案与罗盘玫瑰、兰戈利等径向装饰同类：对称、重复与色彩。数字工具用参数方程取代齿轮——x、y 作为滚动角的函数——因而可动画描边、随机 R/r/d，并导出 PNG 曼陀罗，无需塑料环。
在 PictorX 中试用万花尺
在 PictorX 打开 /spirograph，于浏览器中绘制内旋轮线与外旋轮线。调节 R、r 与笔偏移，切换模式，动画曲线并保存 PNG。不会上传到 PictorX 服务器。可与 Fractal Generator 或其他创意应用在同一工作区搭配使用。
常见问题
内旋轮线与外旋轮线有何区别？
内旋轮线由在固定圆内侧滚动的圆上一点绘出；外旋轮线则由外侧滚动绘出。两者都是轮转曲线；Spirograph 玩具按齿轮啮合方式可产生两类曲线。
参数 R、r、d 分别表示什么？
R 是固定圆半径，r 是滚动圆半径，d 是笔尖到滚动圆心的距离。三者共同决定瓣数、尺寸以及路径看起来多紧凑或多华丽。
为什么有些万花尺曲线能整齐闭合？
当 R/r 为有理数（对应整数齿）时，路径会在有限圈后重复并闭合。无理比永不精确闭合，会密密填满一环。
谁发明了 Spirograph 玩具？
Denys Fisher 在 1960 年代设计并商业化了塑料万花尺。其背后的轮转曲线数学要古老得多。
相关工具
准备好尝试了吗？
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