عن السبيروغراف | هيپوتروكويد وإپيتروكويد

ما هو السبيروغراف؟

منحنى السبيروغراف هو مسار نقطة مربوطة بدائرة تتدحرج بلا انزلاق حول دائرة ثابتة. إذا تدحرجت من الداخل فالمسار هيپوتروكويد؛ ومن الخارج إپيتروكويد. لعبة السبيروغراف المألوفة نشرت هذه المنحنيات الروليت كحلقات متداخلة ملونة وماندالات نجمية.

الهيپوتروكويد والإپيتروكويد

تنشأ الهيپوتروكويد من التدحرج الداخلي؛ والإپيتروكويد من الخارجي. كلاهما من عائلة منحنيات الروليت المدروسة قبل تروس البلاستيك بزمن طويل—منذ القرن السابع عشر. حالات خاصة تشمل القطع الناقص والدلتويد والأسترويد والكاردioid والنفرويد، بحسب نسبة نصف القطر وإزاحة القلم.

المعاملات R وr وd

ثلاثة أرقام تشكّل المنحنى. R نصف قطر الدائرة الثابتة. r نصف قطر الدائرة المتدحرجة. d المسافة من مركز التدحرج إلى القلم (إزاحة القلم). تغيير R:r يحدد عدد الفصوص؛ وتغيير d يسحب المسار بين شبه دائرة وتصميم مدبب بعمق أو متقاطع. في اللعبة الكلاسيكية، الثقب الذي تختاره على الترس يضبط d.

المنحنيات المغلقة ونسب التروس

يُغلق المنحنى المرسوم بعد عدد محدود من الدورات عندما تكون نسبة نصف القطر R/r نسبية—عادةً بأعداد صحيحة أولية فيما بينها تطابق أسنان التروس. النسب غير النسبية لا تُغلق أبدًا تمامًا وتملأ شريطًا كثيفًا. لذلك تنتج تروس اللعب ذات الأسنان الصحيحة أنماطًا أنيقة متكررة، بينما قد تبدو النسب الرقمية العشوائية «شبه مغلقة» حتى تنتظر بما يكفي—أو تفرض تقريبًا نسبيًا.

دينيس فيشر ولعبة السبيروغراف

أطلق المهندس البريطاني دينيس فيشر لعبة السبيروغراف في منتصف الستينيات (يُؤرَّخ غالبًا بـ1965)، ثم سوّقتها كينر وغيرها. حلقات وتروس وأقلام بلاستيكية أتاحت رسم الهيپوتروكويد دون معرفة المعادلات. التصق اسم العلامة بقوة حتى بات كثيرون يسمّون أي روليت من هذا النوع «سبيروغراف»، حتى عند الرسم الرقمي.

من ماندالات الورق إلى الرسم الرقمي

تقع أنماط السبيروغراف إلى جانب وردات البوصلة والرانغولي وغيرها من الزخارف الشعاعية: التناظر والتكرار واللون. الأدوات الرقمية تستبدل التروس بمعادلات بارامترية—x وy كدوال لزاوية التدحرج—فيمكنك تحريك الضربة وعشوائية R وr وd وتصدير ماندالات PNG دون حلقات بلاستيكية.

دانكان فيشر يلعب بلعبة سايكليكس الخاصة بوالده

جرّب السبيروغراف في PictorX

افتح /spirograph في PictorX لرسم هيپوتروكويد وإپيتروكويد في المتصفح. اضبط R وr وإزاحة القلم، وبدّل الوضع، وحرّك المنحنى واحفظ PNG. لا يُرفع شيء إلى خوادم PictorX. اربطه بمولّد الفراكتال أو تطبيقات إبداعية أخرى في مساحة العمل نفسها.

الأسئلة المتداولة

ما الفرق بين الهيپوتروكويد والإپيتروكويد؟

يُرسم الهيپوتروكويد بنقطة على دائرة تتدحرج داخل دائرة ثابتة؛ والإپيتروكويد بالتدحرج خارجها. كلاهما منحنى روليت؛ ويمكن للعبة السبيروغراف إنتاج العائلتين حسب تعاشق التروس.

ماذا تعني المعاملات R وr وd؟

R نصف قطر الدائرة الثابتة، وr نصف قطر الدائرة المتدحرجة، وd مسافة القلم عن مركز التدحرج. معًا تحدد عدد الفصوص والحجم ومدى ضيق المسار أو زخرفته.

لماذا تُغلق بعض منحنيات السبيروغراف بإتقان؟

عندما تكون R/r نسبية (أسنان صحيحة)، يتكرر المسار ويُغلق بعد دورات محدودة. النسب غير النسبية لا تُغلق أبدًا بدقة وتملأ حلقة بكثافة.

من اخترع لعبة السبيروغراف؟

صمّم دينيس فيشر سبيروغراف البلاستيك وسوّقه في الستينيات. رياضيات الروليت الأساسية أقدم بكثير.