Despre spirografe | Hipotrochoidă și epitrochoidă

Ce este un spirograf?

O curbă de spirograf este traiectoria unui punct atașat unui cerc care rulează fără alunecare în jurul unui cerc fix. În interior rezultă o hipotrochoidă; în exterior, o epitrochoidă. Jucăria Spirograph a popularizat aceste curbe roulette ca bucle colorate și mandale stelare.

Hipotrochoide și epitrochoide

Hipotrochoidele apar din rularea internă; epitrochoidele din cea externă. Ambele fac parte din curbele roulette studiate cu mult înaintea roților dințate de plastic—din secolul al XVII-lea. Cazuri speciale: elipsă, deltoidă, asteroidă, cardioidă și nefroidă, după raportul razelor și offset-ul stiloului.

Parametri R, r și d

Trei numere modelează curba. R este raza cercului fix. r este raza cercului care rulează. d este distanța de la centrul de rulare la stilou (offset). Raportul R:r stabilește câte lobi apar; d trage traiectoria între aproape-cerc și un desen profund cuspidat sau încrucișat. La jucăria clasică, gaura aleasă pe roata dințată setează d.

Curbe care se închid și rapoarte de roți dințate

O curbă desenată se închide după un număr finit de rotații când raportul R/r este rațional—de obicei cu întregi coprimi care corespund dinților. Rapoartele iraționale nu se închid niciodată cu adevărat și umplu o bandă densă. De aceea roțile dințate de jucărie cu dinți întregi produc motive curate, repetitive, pe când rapoarte digitale arbitrare pot părea „aproape închise” până aștepți suficient—sau forțezi o aproximare rațională.

Denys Fisher și jucăria Spirograph

Inginerul britanic Denys Fisher a lansat jucăria Spirograph la mijlocul anilor 1960 (adesea datată 1965), ulterior comercializată de Kenner și alții. Inele, roți dințate și stilouri din plastic permiteau desenarea hipotrochoidelor fără a cunoaște ecuațiile. Numele de marcă s-a lipit atât de tare încât mulți numesc „spirograf” orice asemenea ruletă, chiar digitală.

De la mandale pe hârtie la desenul digital

Motivele de spirograf stau alături de rozele vânturilor, rangoli și alte ornamente radiale: simetrie, repetiție și culoare. Instrumentele digitale înlocuiesc roțile dințate cu ecuații parametrice—x și y funcții de unghiul de rulare—ca să animezi traseul, să randomizezi R, r și d și să exporți mandale PNG fără inele de plastic.

Duncan Fisher jucându-se cu jucăria Cyclex a tatălui său

Încearcă Spirograph în PictorX

Deschide /spirograph în PictorX pentru a desena hipotrochoide și epitrochoide în browser. Reglează R, r și offset-ul stiloului, schimbă modul, animează curba și salvează un PNG. Nimic nu se încarcă pe serverele PictorX. Combină cu Fractal Generator sau alte aplicații creative în același spațiu.

Întrebări frecvente

Care este diferența dintre o hipotrochoidă și o epitrochoidă?

O hipotrochoidă este trasată de un punct pe un cerc care rulează în interiorul unui cerc fix; o epitrochoidă, în exterior. Ambele sunt curbe roulette; jucăria Spirograph poate produce ambele familii după angrenare.

Ce înseamnă parametrii R, r și d?

R este raza cercului fix, r a cercului care rulează, iar d distanța stiloului de centrul de rulare. Împreună stabilesc numărul de lobi, mărimea și cât de strâns sau ornamentat arată traseul.

De ce unele curbe de spirograf se închid curat?

Când R/r este rațional (dinți întregi), traseul se repetă și se închide după ture finite. Rapoartele iraționale nu se închid niciodată exact și umplu dens un inel.

Cine a inventat jucăria Spirograph?

Denys Fisher a proiectat și comercializat Spirograph-ul din plastic în anii 1960. Matematica roulette de bază este mult mai veche.