스피로그래프 소개 | 하이포트로코이드와 에피트로코이드

스피로그래프란?

스피로그래프 곡선은 고정 원 주위를 미끄러지지 않고 구르는 원에 붙은 점의 경로입니다. 안쪽에서 구르면 하이포트로코이드, 바깥이면 에피트로코이드가 됩니다. 익숙한 스피로그래프 장난감은 이런 룰렛 곡선을 알록달록한 중첩 고리와 별 모양 만다라로 대중화했습니다.

하이포트로코이드와 에피트로코이드

하이포트로코이드는 안쪽 구름에서, 에피트로코이드는 바깥 구름에서 생깁니다. 둘 다 플라스틱 기어보다 훨씬 이전—17세기부터—연구된 룰렛 곡선 가족입니다. 반지름 비와 펜 오프셋에 따라 타원, 델토이드, 아스트로이드, 카디오이드, 네프로이드 같은 특수형이 됩니다.

매개변수 R, r, d

세 숫자가 곡선을 만듭니다. R은 고정 원 반지름, r은 구르는 원 반지름, d는 구름 중심에서 펜까지의 거리(펜 오프셋)입니다. R:r을 바꾸면 잎(로브) 수가 정해지고, d를 바꾸면 거의 원에서 깊게 뾰족하거나 교차한 디자인까지 당깁니다. 고전 장난감에서는 기어에 고른 구멍이 d를 정합니다.

닫히는 곡선과 기어비

반지름 비 R/r이 유리수일 때—보통 기어 이빨 수에 맞는 서로소 정수로 표현—그린 곡선은 유한 바퀴 뒤에 닫힙니다. 무리수 비는 결코 완전히 닫히지 않고 촘촘한 띠를 채웁니다. 그래서 정수 이빨 장난감 기어는 깔끔하고 반복되는 무늬를 만들고, 임의의 디지털 비는 충분히 기다리기 전까지—또는 유리 근사를 강제하기 전까지—“거의 닫힌” 것처럼 보일 수 있습니다.

Denys Fisher와 스피로그래프 장난감

영국 엔지니어 Denys Fisher는 1960년대 중반(흔히 1965년)에 스피로그래프 장난감을 출시했고, 이후 Kenner 등이 판매했습니다. 플라스틱 링·기어·펜으로 방정식을 몰라도 하이포트로코이드를 그릴 수 있었습니다. 브랜드명이 워낙 굳어져 많은 사람이 디지털로 그린 경우에도 이런 룰렛을 모두 “스피로그래프”라고 부릅니다.

종이 만다라에서 디지털 드로잉으로

스피로그래프 무늬는 나침반 장미, 랑골리 등 방사형 장식과 나란히 섭니다: 대칭, 반복, 색. 디지털 도구는 기어를 매개변수 방정식—구름 각의 함수인 x와 y—로 바꿔 스트로크를 애니메이션하고 R, r, d를 무작위화하며 플라스틱 링 없이 PNG 만다라를 내보낼 수 있습니다.

PictorX에서 스피로그래프 해보기

PictorX에서 /spirograph를 열어 브라우저에서 하이포트로코이드와 에피트로코이드를 그립니다. R, r, 펜 오프셋을 조절하고 모드를 바꾸며 곡선을 애니메이션하고 PNG로 저장합니다. PictorX 서버로 업로드되지 않습니다. 같은 작업 공간에서 Fractal Generator 등 창작 앱과 함께 쓰세요.