スピログラフについて | ハイポトロコイドとエピトロコイド

スピログラフとは？

スピログラフ曲線は、固定円のまわりを滑らずに転がる円に付けた点の軌跡です。内側を転がるとハイポトロコイド、外側だとエピトロコイドになります。おなじみのスピログラフ玩具は、これらのルーレット曲線を色鮮やかな入れ子の輪や星形の曼荼羅として広めました。

ハイポトロコイドとエピトロコイド

ハイポトロコイドは内側の転がり、エピトロコイドは外側の転がりから生まれます。どちらもプラスチック歯車よりずっと前—17世紀以降—に研究されたルーレット曲線の仲間です。半径比とペンオフセットにより、楕円・デルトイド・アストロイド・カージオイド・ネフロイドなどの特別な形になります。

パラメータ R・r・d

三つの数が曲線を決めます。R は固定円の半径、r は転がる円の半径、d は転がり中心からペンまでの距離（ペンオフセット）です。R:r を変えると葉（ローブ）の数が決まり、d を変えるとほぼ円から尖った／交差した図形まで引き伸ばされます。クラシック玩具では歯車の穴の選択が d になります。

閉じる曲線と歯車比

半径比 R/r が有理数のとき—多くは歯車の歯数に対応する互いに素な整数で表す—描いた曲線は有限回の回転で閉じます。無理数比は決して完全には閉じず、密な帯を埋めます。だから整数歯の玩具歯車はきれいな繰り返し模様を生み、任意のデジタル比は十分待つまで「ほぼ閉じている」ように見える—あるいは有理近似を強制する、というわけです。

デニス・フィッシャーとスピログラフ玩具

英国の技術者デニス・フィッシャーは1960年代半ば（しばしば1965年）にスピログラフ玩具を発売し、のちに Kenner などが販売しました。プラスチックのリング・歯車・ペンで、方程式を知らなくてもハイポトロコイドを描けます。ブランド名が定着し、デジタル描画でもこうしたルーレットを「スピログラフ」と呼ぶ人が多くなりました。

紙の曼荼羅からデジタル描画へ

スピログラフ模様はコンパスローズやランゴリなど放射状の装飾と同じく、対称・反復・色彩が要点です。デジタルツールは歯車をパラメトリック方程式—転がり角の関数としての x と y—に置き換え、ストロークをアニメーションし、R・r・d をランダム化し、プラスチックリングなしで PNG 曼荼羅を書き出せます。

PictorX でスピログラフを試す

PictorX で /spirograph を開き、ブラウザでハイポトロコイドとエピトロコイドを描きます。R・r・ペンオフセットを調整し、モード切替、曲線のアニメーション、PNG 保存。PictorX サーバーへのアップロードはありません。同じワークスペースで Fractal Generator などと組み合わせられます。