À propos des spirographes | Hypotrochoïde et épitrochoïde

Qu’est-ce qu’un spirographe ?

Une courbe de spirographe est la trajectoire d’un point lié à un cercle qui roule sans glisser autour d’un cercle fixe. À l’intérieur, on obtient une hypotrochoïde ; à l’extérieur, une épitrochoïde. Le jouet Spirographe a popularisé ces courbes de roulette en boucles imbriquées colorées et mandalas étoilés.

Hypotrochoïdes et épitrochoïdes

Les hypotrochoïdes naissent du roulement interne ; les épitrochoïdes du roulement externe. Toutes deux appartiennent aux courbes de roulette étudiées bien avant les engrenages en plastique—dès le XVIIe siècle. Cas particuliers : ellipse, deltoïde, astroïde, cardioïde et néphroïde, selon le rapport des rayons et le décalage du stylo.

Paramètres R, r et d

Trois nombres façonnent la courbe. R est le rayon du cercle fixe. r est le rayon du cercle roulant. d est la distance du centre roulant au stylo (décalage). Le rapport R:r fixe le nombre de lobes ; d tire la trajectoire entre presque cercle et dessin très cuspidé ou croisé. Dans le jouet classique, le trou choisi sur l’engrenage fixe d.

Courbes fermées et rapports d’engrenages

Une courbe se ferme après un nombre fini de tours lorsque le rapport R/r est rationnel—souvent exprimé avec des entiers premiers entre eux qui correspondent aux dents. Les rapports irrationnels ne se ferment jamais vraiment et remplissent une bande dense. C’est pourquoi les engrenages jouets à dents entières donnent des motifs nets et répétitifs, tandis que des rapports numériques arbitraires semblent « presque fermés » tant qu’on n’attend pas assez—ou qu’on force une approximation rationnelle.

Denys Fisher et le jouet Spirographe

L’ingénieur britannique Denys Fisher a lancé le jouet Spirographe au milieu des années 1960 (souvent daté 1965), puis commercialisé par Kenner et d’autres. Anneaux, engrenages et stylos en plastique permettaient de tracer des hypotrochoïdes sans connaître les équations. La marque s’est imposée au point que beaucoup appellent « spirographe » toute roulette de ce type, même numérique.

Des mandalas papier au dessin numérique

Les motifs de spirographe côtoient roses des vents, rangoli et autres ornements radiaux : symétrie, répétition et couleur. Les outils numériques remplacent les engrenages par des équations paramétriques—x et y fonctions de l’angle de roulement—pour animer le trait, randomiser R, r et d, et exporter des mandalas PNG sans anneaux plastiques.

Duncan Fisher jouant avec le jouet Cyclex de son père

Essayer le Spirographe dans PictorX

Ouvrez /spirograph dans PictorX pour tracer hypotrochoïdes et épitrochoïdes dans le navigateur. Réglez R, r et le décalage du stylo, changez de mode, animez la courbe et enregistrez un PNG. Rien n’est envoyé aux serveurs PictorX. Associez-le au générateur de fractales ou à d’autres apps créatives dans le même espace.

Questions fréquemment posées

Quelle est la différence entre une hypotrochoïde et une épitrochoïde ?

Une hypotrochoïde est tracée par un point d’un cercle qui roule à l’intérieur d’un cercle fixe ; une épitrochoïde à l’extérieur. Ce sont des courbes de roulette ; le jouet Spirographe peut produire les deux familles selon l’engrènement.

Que signifient les paramètres R, r et d ?

R est le rayon du cercle fixe, r celui du cercle roulant et d la distance du stylo au centre roulant. Ensemble ils fixent le nombre de lobes, la taille et l’aspect serré ou orné du tracé.

Pourquoi certaines courbes de spirographe se ferment-elles nettement ?

Quand R/r est rationnel (dents entières), le tracé se répète et se ferme après un nombre fini de tours. Les rapports irrationnels ne se ferment jamais exactement et remplissent densément un anneau.

Qui a inventé le jouet Spirographe ?

Denys Fisher a conçu et commercialisé le Spirographe en plastique dans les années 1960. Les mathématiques de roulette sous-jacentes sont bien plus anciennes.