Über Spirographen | Hypotrochoide & Epitrochoide

Was ist ein Spirograph?

Eine Spirograph-Kurve ist die Bahn eines Punkts an einem Kreis, der ohne Schlupf um einen festen Kreis rollt. Rollt der bewegliche Kreis innen, entsteht eine Hypotrochoide; rollt er außen, eine Epitrochoide. Das bekannte Spirograph-Spielzeug machte diese Roulette-Kurven als bunte verschachtelte Schleifen und sternförmige Mandalas populär.

Das Patent für den Original-Spirographen

Hypotrochoiden und Epitrochoiden

Hypotrochoiden entstehen durch Innenrollen; Epitrochoiden durch Außenrollen. Beide gehören zu den Roulette-Kurven, die lange vor Kunststoffzahnrädern erforscht wurden—seit dem 17. Jahrhundert. Sonderfälle sind Ellipse, Deltoid, Astroide, Kardioide und Nephroide, je nach Radienverhältnis und Stiftversatz.

Parameter R, r und d

Drei Zahlen formen die Kurve. R ist der Radius des festen Kreises. r ist der Radius des rollenden Kreises. d ist der Abstand vom Rollzentrum zum Stift (Stiftversatz). Das Verhältnis R:r bestimmt die Anzahl der Lappen; d zieht die Bahn zwischen nahezu kreisförmig und stark gespitzt oder gekreuzt. Beim klassischen Spielzeug setzt die gewählte Zahnradbohrung d.

Schließende Kurven und Zahnradverhältnisse

Eine gezeichnete Kurve schließt sich nach endlich vielen Umdrehungen, wenn das Radienverhältnis R/r rational ist—meist mit teilerfremden ganzen Zahlen, die den Zahnzahlen entsprechen. Irrationale Verhältnisse schließen nie ganz und füllen ein dichtes Band. Deshalb erzeugen Spielzeugzahnräder mit ganzzahligen Zähnen klare, wiederkehrende Muster, während beliebige digitale Verhältnisse lange „fast geschlossen“ wirken—oder man erzwingt eine rationale Näherung.

Denys Fisher und das Spirograph-Spielzeug

Der britische Ingenieur Denys Fisher brachte das Spirograph-Spielzeug Mitte der 1960er (meist 1965) auf den Markt, später u. a. von Kenner vertrieben. Kunststoffringe, Zahnräder und Stifte ließen Hypotrochoiden zeichnen, ohne die Gleichungen zu kennen. Der Markenname haftete so stark, dass viele jede solche Roulette „Spirograph“ nennen—auch digital.

Von Papiermandalas zum digitalen Zeichnen

Spirograph-Muster stehen neben Kompassrosen, Rangoli und anderen radialen Ornamenten: Symmetrie, Wiederholung und Farbe. Digitale Werkzeuge ersetzen Zahnräder durch parametrische Gleichungen—x und y als Funktionen des Rollwinkels—, sodass Sie den Strich animieren, R, r und d würfeln und PNG-Mandalas ohne Kunststoffringe exportieren können.

Duncan Fisher spielt mit dem Cyclex-Spielzeug seines Vaters

Spirograph in PictorX ausprobieren

Öffnen Sie /spirograph in PictorX, um Hypotrochoiden und Epitrochoiden im Browser zu zeichnen. Stellen Sie R, r und Stiftversatz ein, wechseln Sie den Modus, animieren Sie die Kurve und speichern Sie ein PNG. Nichts wird auf PictorX-Server hochgeladen. Kombinieren Sie es mit dem Fractal Generator oder anderen Kreativ-Apps im selben Workspace.

Häufig gestellte Fragen

Was ist der Unterschied zwischen Hypotrochoide und Epitrochoide?

Eine Hypotrochoide entsteht durch einen Punkt auf einem Kreis, der innen um einen festen Kreis rollt; eine Epitrochoide durch Rollen außen. Beide sind Roulette-Kurven; das Spirograph-Spielzeug kann je nach Zahneingriff beide Familien erzeugen.

Was bedeuten die Parameter R, r und d?

R ist der Radius des festen Kreises, r der des rollenden Kreises und d der Abstand des Stifts vom Rollzentrum. Zusammen bestimmen sie Lappenzahl, Größe und wie eng oder ornamental die Bahn wirkt.

Warum schließen sich manche Spirograph-Kurven sauber?

Ist R/r rational (passend zu ganzzahligen Zahnzahlen), wiederholt und schließt sich die Bahn nach endlich vielen Umdrehungen. Irrationale Verhältnisse schließen nie exakt und füllen einen Ring dicht.

Wer hat das Spirograph-Spielzeug erfunden?

Denys Fisher entwarf und vermarktete den Kunststoff-Spirographen in den 1960ern. Die zugrunde liegende Roulette-Mathematik ist weit älter.