О спирографах | Гипотрохоида и эпитрохоида

Что такое спирограф?

Кривая спирографа—это путь точки, закреплённой на круге, который катится без проскальзывания вокруг неподвижного круга. Внутри получается гипотрохоида; снаружи—эпитрохоида. Знакомая игрушка Spirograph популяризировала эти рулетты как цветные вложенные петли и звёздчатые мандалы.

Гипотрохоиды и эпитрохоиды

Гипотрохоиды возникают при внутреннем качении; эпитрохоиды—при внешнем. Оба типа относятся к рулеттам, изучавшимся задолго до пластиковых шестерён—с XVII века. Частные случаи: эллипс, дельтоида, астроида, кардиоида и нефроида—в зависимости от отношения радиусов и смещения пера.

Параметры R, r и d

Три числа задают кривую. R—радиус неподвижного круга. r—радиус катящегося круга. d—расстояние от центра качения до пера (смещение пера). Отношение R:r задаёт число лепестков; d тянет путь от почти окружности к острозубчатому или пересекающемуся узору. В классической игрушке выбранное отверстие на шестерне задаёт d.

Замыкание кривых и передаточные отношения

Нарисованная кривая замыкается после конечного числа оборотов, когда отношение радиусов R/r рационально—обычно через взаимно простые целые, совпадающие с числом зубьев. Иррациональные отношения никогда не замыкаются до конца и заполняют плотную полосу. Поэтому игрушечные шестерни с целым числом зубьев дают аккуратные повторяющиеся узоры, а произвольные цифровые отношения могут выглядеть «почти замкнутыми», пока не подождёте достаточно долго—или не зададите рациональное приближение.

Денис Фишер и игрушка Spirograph

Британский инженер Денис Фишер выпустил игрушку Spirograph в середине 1960-х (часто датируют 1965 годом), позже её продавали Kenner и другие. Пластиковые кольца, шестерни и ручки позволяли рисовать гипотрохоиды, не зная уравнений. Бренд так прочно закрепился, что многие называют «спирографом» любую такую рулетту—даже цифровую.

От бумажных мандал к цифровому рисунку

Узоры спирографа соседствуют с розами ветров, ранголи и другими радиальными орнаментами: симметрия, повтор и цвет. Цифровые инструменты заменяют шестерни параметрическими уравнениями—x и y как функции угла качения—поэтому можно анимировать штрих, рандомизировать R, r и d и экспортировать PNG-мандалы без пластиковых колец.

Дункан Фишер играет с игрушкой Cyclex своего отца

Попробуйте Спирограф в PictorX

Откройте /spirograph в PictorX, чтобы рисовать гипотрохоиды и эпитрохоиды в браузере. Настройте R, r и смещение пера, смените режим, анимируйте кривую и сохраните PNG. Ничего не загружается на серверы PictorX. Сочетайте с генератором фракталов или другими творческими приложениями в том же пространстве.

Часто задаваемые вопросы

Чем гипотрохоида отличается от эпитрохоиды?

Гипотрохоиду чертит точка на круге, катящемся внутри неподвижного; эпитрохоиду—снаружи. Обе—рулетты; игрушка Spirograph может давать оба семейства в зависимости от зацепления шестерён.

Что означают параметры R, r и d?

R—радиус неподвижного круга, r—катящегося, d—расстояние пера от центра качения. Вместе они задают число лепестков, размер и то, насколько плотным или узорчатым выглядит путь.

Почему одни кривые спирографа аккуратно замыкаются?

Когда R/r рационально (целое число зубьев), путь повторяется и замыкается после конечных оборотов. Иррациональные отношения никогда не замыкаются точно и плотно заполняют кольцо.

Кто изобрёл игрушку Spirograph?

Денис Фишер спроектировал и вывел на рынок пластиковый Spirograph в 1960-х. Математика рулетт намного старше.