O spirografach | Hipotrochoida i epitrochoida

Czym jest spirograf?

Krzywa spirografu to tor punktu związanego z okręgiem toczącym się bez poślizgu wokół stałego okręgu. Toczenie wewnątrz daje hipotrochoidę; na zewnątrz—epitrochoidę. Znana zabawka Spirograph spopularyzowała te krzywe rulety jako kolorowe pętle i gwiaździste mandale.

Hipotrochoidy i epitrochoidy

Hipotrochoidy powstają przy toczeniu wewnętrznym; epitrochoidy przy zewnętrznym. Obie należą do krzywych rulety badanych na długo przed plastikowymi kołami zębatymi—od XVII wieku. Przypadki szczególne: elipsa, deltoida, asteroida, kardioida i nefroida, zależnie od stosunku promieni i offsetu pióra.

Parametry R, r i d

Trzy liczby kształtują krzywą. R to promień stałego okręgu. r to promień toczącego się okręgu. d to odległość od środka toczenia do pióra (offset). Stosunek R:r ustala liczbę płatów; d ciągnie tor między prawie-okręgiem a mocno ostrołukowym lub skrzyżowanym wzorem. W klasycznej zabawce wybrane otwór w kole zębatym ustawia d.

Domknięte krzywe i przełożenia kół zębatych

Narysowana krzywa domyka się po skończonej liczbie obrotów, gdy stosunek R/r jest wymierny—zwykle jako względnie pierwsze liczby całkowite odpowiadające zębom. Stosunki niewymierne nigdy się w pełni nie zamykają i wypełniają gęsty pas. Dlatego zabawkowe koła zębate z całkowitą liczbą zębów dają czyste, powtarzalne wzory, a dowolne cyfrowe stosunki mogą wyglądać na „prawie domknięte”, dopóki nie poczekasz dość długo—albo nie wymusisz wymiernego przybliżenia.

Denys Fisher i zabawka Spirograph

Brytyjski inżynier Denys Fisher wprowadził zabawkę Spirograph w połowie lat 60. (często datowaną na 1965), później sprzedawaną m.in. przez Kenner. Plastikowe pierścienie, koła zębate i długopisy pozwalały rysować hipotrochoidy bez znajomości równań. Nazwa marki tak się utrwaliła, że wielu nazywa każdą taką ruletę „spirografem”—także cyfrową.

Od mandali na papierze do rysunku cyfrowego

Wzory spirografu sąsiadują z różami wiatrów, rangoli i innymi ornamentami radialnymi: symetria, powtórzenie i kolor. Narzędzia cyfrowe zastępują koła zębate równaniami parametrycznymi—x i y jako funkcje kąta toczenia—więc możesz animować kreskę, losować R, r i d oraz eksportować mandale PNG bez plastikowych pierścieni.

Duncan Fisher bawiący się zabawką Cyclex ojca

Wypróbuj Spirograf w PictorX

Otwórz /spirograph w PictorX, by rysować hipotrochoidy i epitrochoidy w przeglądarce. Ustaw R, r i offset pióra, zmień tryb, animuj krzywą i zapisz PNG. Nic nie jest wysyłane na serwery PictorX. Połącz ze generatorem fraktali lub innymi aplikacjami kreatywnymi w tym samym workspace.

Często zadawane pytania

Jaka jest różnica między hipotrochoidą a epitrochoidą?

Hipotrochoidę kreśli punkt na okręgu toczącym się wewnątrz stałego okręgu; epitrochoidę—na zewnątrz. Obie to krzywe rulety; zabawka Spirograph może tworzyć obie rodziny w zależności od zazębienia.

Co oznaczają parametry R, r i d?

R to promień stałego okręgu, r toczącego się, a d odległość pióra od środka toczenia. Razem ustalają liczbę płatów, rozmiar i to, jak ciasna lub ozdobna jest ścieżka.

Dlaczego niektóre krzywe spirografu domykają się czysto?

Gdy R/r jest wymierne (całkowita liczba zębów), tor się powtarza i zamyka po skończonej liczbie obrotów. Stosunki niewymierne nigdy nie zamykają się dokładnie i gęsto wypełniają pierścień.

Kto wynalazł zabawkę Spirograph?

Denys Fisher zaprojektował i skomercjalizował plastikowy Spirograph w latach 60. Matematyka rulet leżąca u podstaw jest znacznie starsza.