Về Spirograph | Hypotrochoid & Epitrochoid

Spirograph là gì?

Đường cong spirograph là quỹ đạo của một điểm gắn trên đường tròn lăn không trượt quanh một đường tròn cố định. Lăn bên trong tạo hypotrochoid; bên ngoài tạo epitrochoid. Đồ chơi Spirograph quen thuộc phổ biến các đường roulette này thành vòng lồng màu và mandala hình sao.

Hypotrochoid và epitrochoid

Hypotrochoid sinh ra từ lăn trong; epitrochoid từ lăn ngoài. Cả hai thuộc họ đường roulette được nghiên cứu lâu trước bánh răng nhựa—từ thế kỷ XVII. Trường hợp đặc biệt gồm elip, deltoid, astroid, cardioid và nephroid, tùy tỉ số bán kính và lệch bút.

Tham số R, r và d

Ba số tạo hình đường cong. R là bán kính đường tròn cố định. r là bán kính đường tròn lăn. d là khoảng cách từ tâm lăn đến bút (lệch bút). Đổi R:r quyết định số cánh; đổi d kéo quỹ đạo giữa gần tròn và thiết kế nhọn sâu hoặc giao nhau. Trong đồ chơi cổ điển, lỗ bạn chọn trên bánh răng đặt d.

Đường cong khép kín và tỉ số bánh răng

Đường cong khép lại sau hữu hạn vòng khi tỉ số bán kính R/r hữu tỉ—thường biểu diễn bằng số nguyên nguyên tố cùng nhau khớp số răng. Tỉ số vô tỉ không bao giờ khép hẳn và lấp một dải dày. Vì thế bánh răng đồ chơi có số răng nguyên tạo họa tiết gọn, lặp lại, còn tỉ số số tùy ý có thể trông “gần như khép” cho đến khi chờ đủ lâu—hoặc ép xấp xỉ hữu tỉ.

Denys Fisher và đồ chơi Spirograph

Kỹ sư Anh Denys Fisher ra mắt đồ chơi Spirograph giữa thập niên 1960 (thường ghi 1965), sau đó Kenner và hãng khác phân phối. Vòng, bánh răng và bút nhựa giúp trẻ em và người lớn vẽ hypotrochoid mà không cần biết phương trình. Tên thương hiệu gắn chặt đến mức nhiều người gọi mọi đường roulette kiểu này là “spirograph,” kể cả khi vẽ số.

Từ mandala giấy đến vẽ số

Họa tiết spirograph đứng cạnh hoa hồng la bàn, rangoli và trang trí xuyên tâm khác: đối xứng, lặp lại và màu sắc. Công cụ số thay bánh răng bằng phương trình tham số—x và y là hàm của góc lăn—để hoạt ảnh nét, ngẫu nhiên hóa R, r, d và xuất mandala PNG mà không cần vòng nhựa.

Duncan Fisher chơi đồ chơi Cyclex của cha mình

Thử Spirograph trong PictorX

Mở /spirograph trong PictorX để vẽ hypotrochoid và epitrochoid trên trình duyệt. Chỉnh R, r và lệch bút, đổi chế độ, hoạt ảnh đường cong và lưu PNG. Không tải gì lên máy chủ PictorX. Kết hợp với Fractal Generator hoặc ứng dụng sáng tạo khác trong cùng không gian làm việc.

Hỏi thường xuyên

Hypotrochoid và epitrochoid khác nhau thế nào?

Hypotrochoid do điểm trên đường tròn lăn bên trong đường tròn cố định; epitrochoid do lăn bên ngoài. Cả hai là đường roulette; đồ chơi Spirograph có thể tạo cả hai họ tùy cách bánh răng khớp.

Tham số R, r và d nghĩa là gì?

R là bán kính đường tròn cố định, r của đường tròn lăn, d khoảng cách bút tới tâm lăn. Cùng nhau chúng quyết định số cánh, kích thước và đường đi trông chặt hay cầu kỳ.

Vì sao một số đường cong spirograph khép gọn?

Khi R/r hữu tỉ (số răng nguyên), quỹ đạo lặp và khép sau hữu hạn vòng. Tỉ số vô tỉ không bao giờ khép đúng và lấp kín một vòng.

Ai phát minh đồ chơi Spirograph?

Denys Fisher thiết kế và thương mại hóa Spirograph nhựa vào thập niên 1960. Toán học roulette nền tảng cổ hơn nhiều.