स्पाइरोग्राफ़ के बारे में | हाइपोट्रोकॉइड और एपिट्रोकॉइड

स्पाइरोग्राफ़ क्या है?

स्पाइरोग्राफ़ वक्र उस बिंदु का पथ है जो एक वृत्त से जुड़ा है और वह वृत्त बिना फिसले एक स्थिर वृत्त के चारों ओर लुढ़कता है। अंदर लुढ़कने पर हाइपोट्रोकॉइड बनता है; बाहर लुढ़कने पर एपिट्रोकॉइड। परिचित स्पाइरोग्राफ़ खिलौने ने इन रूलेट वक्रों को रंगीन घेरे और तारे जैसी मंडला के रूप में लोकप्रिय बनाया।

हाइपोट्रोकॉइड और एपिट्रोकॉइड

हाइपोट्रोकॉइड आंतरिक लुढ़कन से बनते हैं; एपिट्रोकॉइड बाहरी से। दोनों रूलेट वक्र परिवार के हैं जिन्हें प्लास्टिक गियर से बहुत पहले—सत्रहवीं शताब्दी से—गणितज्ञों ने अध्ययन किया। विशेष रूप में दीर्घवृत्त, डेल्टॉइड, ऐस्ट्रॉइड, कार्डिऑइड और नेफ्रॉइड शामिल हैं—त्रिज्या अनुपात और पेन ऑफ़सेट पर निर्भर।

पैरामीटर R, r और d

तीन संख्याएँ वक्र बनाती हैं। R स्थिर वृत्त की त्रिज्या है। r लुढ़कते वृत्त की त्रिज्या है। d लुढ़कन केंद्र से पेन तक की दूरी है (पेन ऑफ़सेट)। R:r बदलने से पालियों की संख्या तय होती है; d पथ को लगभग वृत्त और गहरी नुकीली या क्रॉस्ड डिज़ाइन के बीच खींचता है। क्लासिक खिलौने में गियर पर चुना गया छेद d सेट करता है।

बंद होने वाले वक्र और गियर अनुपात

जब त्रिज्या अनुपात R/r परिमेय हो—आमतौर पर गियर दांतों से मेल खाती सहअभाज्य पूर्णांकों में—तो खींचा वक्र सीमित चक्करों के बाद बंद हो जाता है। अपरिमेय अनुपात कभी पूरी तरह बंद नहीं होते और घना बैंड भर देते हैं। इसलिए पूर्णांक दांतों वाले खिलौना गियर साफ़, दोहराए जाने वाले पैटर्न बनाते हैं, जबकि मनमाने डिजिटल अनुपात काफी देर तक “लगभग बंद” दिख सकते हैं—या आप परिमेय सन्निकटन थोपें।

डेनिस फिशर और स्पाइरोग्राफ़ खिलौना

ब्रिटिश इंजीनियर डेनिस फिशर ने 1960 के दशक के मध्य (अक्सर 1965) में स्पाइरोग्राफ़ खिलौना लॉन्च किया, बाद में Kenner आदि ने बेचा। प्लास्टिक रिंग, गियर और पेन से बच्चे और वयस्क समीकरण जाने बिना हाइपोट्रोकॉइड बना सकते थे। ब्रांड नाम इतना जम गया कि कई लोग किसी भी ऐसी रूलेट को—डिजिटल होने पर भी—“स्पाइरोग्राफ़” कहते हैं।

कागज़ी मंडला से डिजिटल ड्राइंग तक

स्पाइरोग्राफ़ पैटर्न कम्पास गुलाब, रंगोली और अन्य रेडियल अलंकारों के साथ बैठते हैं: सममिति, दोहराव और रंग। डिजिटल उपकरण गियर की जगह पैरामीट्रिक समीकरण लेते हैं—लुढ़कन कोण के फलन के रूप में x और y—ताकि आप स्ट्रोक एनिमेट कर सकें, R, r और d रैंडमाइज़ कर सकें, और प्लास्टिक रिंग के बिना PNG मंडला निर्यात कर सकें।

डंकन फिशर अपने पिता के साइक्लेक्स खिलौने से खेलते हुए

PictorX में स्पाइरोग्राफ़ आज़माएँ

ब्राउज़र में हाइपोट्रोकॉइड और एपिट्रोकॉइड बनाने के लिए PictorX में /spirograph खोलें। R, r और पेन ऑफ़सेट सेट करें, मोड बदलें, वक्र एनिमेट करें और PNG सेव करें। PictorX सर्वर पर कुछ अपलोड नहीं होता। उसी वर्कस्पेस में Fractal Generator या अन्य क्रिएटिव ऐप के साथ जोड़ें।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

हाइपोट्रोकॉइड और एपिट्रोकॉइड में क्या अंतर है?

हाइपोट्रोकॉइड उस बिंदु से बनता है जो स्थिर वृत्त के अंदर लुढ़कते वृत्त पर है; एपिट्रोकॉइड बाहर लुढ़कने से। दोनों रूलेट वक्र हैं; स्पाइरोग्राफ़ खिलौना गियर मेश के अनुसार दोनों परिवार बना सकता है।

पैरामीटर R, r और d का क्या अर्थ है?

R स्थिर वृत्त की त्रिज्या है, r लुढ़कते वृत्त की, और d लुढ़कन केंद्र से पेन की दूरी। मिलकर ये पालियों की संख्या, आकार और पथ कितना सघन या सजावटी लगता है तय करते हैं।

कुछ स्पाइरोग्राफ़ वक्र साफ़ बंद क्यों होते हैं?

जब R/r परिमेय हो (पूर्णांक गियर दांत), पथ सीमित चक्करों के बाद दोहराकर बंद हो जाता है। अपरिमेय अनुपात कभी सटीक बंद नहीं होते और घेरे को घन भर देते हैं।

स्पाइरोग्राफ़ खिलौना किसने बनाया?

डेनिस फिशर ने 1960 के दशक में प्लास्टिक स्पाइरोग्राफ़ डिज़ाइन और व्यावसायिक किया। अंतर्निहित रूलेट गणित कहीं पुराना है।