マンデルブロ集合
1980年にブノワ・マンデルブロが発見したマンデルブロ集合は、おそらく最も有名なフラクタルです。ジュリア集合と同様、ごく単純な式から生まれますが、信じられないほど複雑です。マンデルブロ集合はゆるく自己相似です。元のフラクタルの一部がズームで再び現れますが、しばしば変形し、別の飾りが付きます。だからこのフラクタルへのズームは報われます。次に何が見えるかわかりません。マンデルブロ集合は式 zₙ₊₁ = zₙ² + c で、z と c は複素数です。z = x + iy、z₀ = 0、c は平面上の点。|zₙ|（z の大きさ）がベイルアウト値 2 以上になるまで反復します。そのとき c に対応する画素は、ベイルアウト前の反復回数に応じて色付けされます。画像の面白くない黒い領域が実際のマンデルブロ集合です。|zₙ| が 2 より大きくならなかったすべての c です。もちろんこの領域を正確に計算することは不可能なので、プログラムは例えば 256 回など、与えた反復回数で |zₙ| が 2 より大きくならない画素を黒くします。三次マンデルブロ集合は zₙ₊₁ = zₙ³ + c、四次は zₙ₊₁ = zₙ⁴ + c です。
ジュリア集合
最も基本的なフラクタルの一つが、第一次世界大戦中にフランスの数学者ガストン・ジュリアが発見したジュリア集合の族です。ジュリア集合は C またはシードと呼ばれる1つの複素パラメータを持つ単純な式から作られます。このパラメータを変えて多くのバリエーションを作れます。ジュリア集合も自己相似です。
ニュートン集合
このフラクタルは、複素数 z = x + iy についてニュートン・ラフソン法で方程式 z³ = 1 を解こうとして作られます。関数 p(z) = z³ − 1 を定義し、ゼロに収束すべき反復式に使い、最初の方程式の解となる z を求めます。ニュートン反復の一般化は zₙ₊₁ = zₙ − a · p(zₙ) / p'(zₙ) で、a は任意の複素数、p'(z) は p(z) の導関数です。特別な選択 a = 1 がニュートンフラクタルに対応します。このフラクタルは複素平面の各点に式を適用し、p(z) が（おおよそ）ゼロに収束するのに必要な反復回数で色付けします。フラクタルの退屈な領域は、実際には元の方程式の解です。
ニュートン⁴
標準のニュートンフラクタルは p(z) = z³ − 1 で根は3つです。Newton⁴ は p(z) = z⁴ − 1 で、1の4乗根（±1 と ±i）の4根です。どちらも複素平面全体にニュートン法 zₙ₊₁ = zₙ − p(zₙ) / p'(zₙ) を適用し、どの根に近づくかで各出発点を色付けします。z³ − 1 の更新は zₙ₊₁ = zₙ − (zₙ³ − 1) / (3 zₙ²)、z⁴ − 1 は zₙ₊₁ = zₙ − (zₙ⁴ − 1) / (4 zₙ³) です。絵は三次ニュートンフラクタルの3回対称ではなく4回回転対称です。1、−1、i、−i の周りの4つの吸引流域が、フラクタルな境界のレースで出会います。フラクタルジェネレーターで Newton の隣に Newton⁴ を試してください。
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