फ्रैक्टल के बारे में अधिक जानकारी
Fractal Generator में खोजे जा सकने वाले मैंडेलब्रॉट सेट, जूलिया सेट, न्यूटन फ्रैक्टल (Newton⁴ सहित) और नोवा फ्रैक्टल के बारे में और पढ़ें।
Mandelbrot सेट
1980 में Benoît Mandelbrot द्वारा खोजा गया Mandelbrot सेट शायद सबसे प्रसिद्ध फ्रैक्टल है। Julia सेट की तरह यह बहुत सरल सूत्र से बनता है, फिर भी अविश्वसनीय रूप से जटिल है। Mandelbrot सेट ढीले अर्थ में स्व-समान है: ज़ूम करने पर मूल फ्रैक्टल के हिस्से फिर दिखते हैं, अक्सर विकृत और अलग आभूषणों के साथ। इसीलिए इस फ्रैक्टल में ज़ूम करना इतना रोमांचक है: आप नहीं जानते आगे क्या दिखेगा। Mandelbrot सेट सूत्र zₙ₊₁ = zₙ² + c से बनता है, जहाँ z और c सम्मिश्र संख्याएँ हैं: z = x + iy, z₀ = 0, और c समतल पर एक बिंदु है। सूत्र तब तक दोहराया जाता है जब तक |zₙ| (z का परिमाण) बेलआउट मान 2 से बड़ा या बराबर न हो। फिर c वाले पिक्सेल को उस पुनरावृत्ति संख्या के अनुसार रंगा जाता है जो प्रक्रिया के बेलआउट से पहले हुई। इमेज का नीरस काला क्षेत्र वास्तविक Mandelbrot सेट है। इसमें c के वे सभी मान हैं जहाँ |zₙ| कभी 2 से बड़ा नहीं हुआ। यह क्षेत्र सटीक गणना करना असंभव है, इसलिए प्रोग्राम उन पिक्सेल को काला करता है जिनके लिए दी गई पुनरावृत्ति संख्या (उदाहरण 256) तक |zₙ| 2 से बड़ा नहीं होता। Cubic Mandelbrot सेट सूत्र zₙ₊₁ = zₙ³ + c से बनता है। Quartic Mandelbrot सेट सूत्र zₙ₊₁ = zₙ⁴ + c से बनता है।
Julia सेट
सबसे बुनियादी फ्रैक्टल प्रकारों में से एक Julia सेट परिवार है, जिसे फ्रांसीसी गणितज्ञ Gaston Julia ने प्रथम विश्व युद्ध के दौरान खोजा। Julia सेट एक सरल सूत्र से बनते हैं जिसमें C या सीड नामक एक सम्मिश्र पैरामीटर होता है। इस पैरामीटर को बदलकर कई विविधताएँ बनाई जा सकती हैं। Julia सेट स्व-समान भी होते हैं।
Newton सेट
यह फ्रैक्टल समीकरण z³ = 1 हल करने की कोशिश से बनता है, Newton–Raphson विधि से, जहाँ z सम्मिश्र संख्या है: z = x + iy। इसमें फलन p(z) = z³ − 1 परिभाषित किया जाता है, और उसे पुनरावृत्त सूत्र में इस्तेमाल किया जाता है जो शून्य की ओर अभिसरित होना चाहिए, इस तरह z का वह मान मिलता है जो पहले समीकरण का हल है। Newton पुनरावृत्ति का सामान्यीकरण zₙ₊₁ = zₙ − a · p(zₙ) / p'(zₙ) है, जहाँ a कोई भी सम्मिश्र संख्या है और p'(z), p(z) का अवकलज है। विशेष चुनाव a = 1 Newton फ्रैक्टल से मेल खाता है। यह फ्रैक्टल सूत्र हर बिंदु पर सम्मिश्र समतल पर लागू करता है, और p(z) के (लगभग) शून्य तक अभिसरण के लिए जितनी पुनरावृत्ति चाहिए उसके अनुसार रंगता है। फ्रैक्टल के नीरस क्षेत्र वास्तव में मूल समीकरण के हल हैं।
Newton⁴
स्टैंडर्ड Newton फ्रैक्टल p(z) = z³ − 1 इस्तेमाल करता है, तीन मूलों के साथ। Newton⁴ p(z) = z⁴ − 1 इस्तेमाल करता है, चार मूलों के साथ: एकता के चौथे मूल (±1 और ±i)। दोनों सम्मिश्र समतल पर Newton की विधि zₙ₊₁ = zₙ − p(zₙ) / p'(zₙ) लागू करते हैं और हर प्रारंभिक बिंदु को उस मूल के अनुसार रंगते हैं जिसकी ओर वह जाता है। z³ − 1 के लिए अपडेट zₙ₊₁ = zₙ − (zₙ³ − 1) / (3 zₙ²) है। z⁴ − 1 के लिए zₙ₊₁ = zₙ − (zₙ⁴ − 1) / (4 zₙ³) है। चित्र में घन Newton फ्रैक्टल की त्रिगुण सममिति की जगह चतुर्गुण घूर्णन सममिति है। चार आकर्षण बेसिन — 1, −1, i और −i के आसपास — फ्रैक्टल सीमाओं की जाली में मिलते हैं। Fractal Generator में Newton के साथ Newton⁴ आज़माएँ।
नोवा फ्रैक्टल
नोवा फ्रैक्टल प्रत्येक चरण में जोड़े गए सम्मिश्र स्थिरांक c के साथ न्यूटन–रैफ़सन मूल खोज है। सामान्य अद्यतन है zₙ₊₁ = zₙ − R · f(zₙ)/f'(zₙ) + c। PictorX का डिफ़ॉल्ट मैंडेलब्रॉट-प्रकार नोवा f(z) = z² − 2 + 0.2i (अतः f'(z) = 2z), सम्मिश्र शिथिलन R = 1 + i, और प्रारंभिक मान z₀ = c (तल पर पिक्सेल) उपयोग करता है। प्रत्येक पिक्सेल को मैंडेलब्रॉट या जूलिया की तरह अनंत तक पलायन से नहीं, बल्कि z के अभिसरण तक लगने वाले पुनरावृत्तियों की संख्या (|Δz| < 10⁻⁴) से रंग दिया जाता है। सम्मिश्र R घाटियों को असमान सर्पिलों में मोड़ देता है—Fractal Generator में R और f के योगात्मक स्थिरांक को आज़माएँ।
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