Plus d’informations sur les fractales
En savoir plus sur l’ensemble de Mandelbrot, les ensembles de Julia et les fractales de Newton (y compris Newton⁴) que vous pouvez explorer dans le générateur de fractales.
L’ensemble de Mandelbrot
L’ensemble de Mandelbrot, découvert en 1980 par Benoît Mandelbrot, est probablement la fractale la plus célèbre. Comme les ensembles de Julia, il est généré par une formule très simple, mais il est d’une complexité extraordinaire. L’ensemble de Mandelbrot est faiblement auto-similaire : des parties de la fractale d’origine réapparaissent en zoomant, souvent déformées et avec d’autres ornements. C’est ce qui rend le zoom si gratifiant : on ne sait jamais ce que l’on verra ensuite. L’ensemble de Mandelbrot est produit par la formule zₙ₊₁ = zₙ² + c, où z et c sont des nombres complexes : z = x + iy, z₀ = 0, et c un point du plan. La formule est itérée jusqu’à ce que |zₙ| (le module de z) soit supérieur ou égal à la valeur de sortie 2. Le pixel correspondant à c est alors coloré selon le nombre d’itérations avant la sortie. La zone noire peu intéressante est l’ensemble de Mandelbrot lui-même. Elle contient toutes les valeurs de c pour lesquelles |zₙ| n’a jamais dépassé 2. Cette zone est impossible à calculer exactement, aussi le programme colore en noir tous les pixels pour lesquels |zₙ| ne dépasse pas 2 pour un nombre d’itérations donné, par exemple 256. L’ensemble de Mandelbrot cubique est produit par zₙ₊₁ = zₙ³ + c. L’ensemble de Mandelbrot quartique est produit par zₙ₊₁ = zₙ⁴ + c.
Ensembles de Julia
L’une des familles de fractales les plus fondamentales est celle des ensembles de Julia, découverts par le mathématicien français Gaston Julia pendant la Première Guerre mondiale. Les ensembles de Julia sont créés par une formule simple avec un paramètre complexe appelé C ou graine. Ce paramètre peut varier pour produire de nombreuses variantes. Les ensembles de Julia sont aussi auto-similaires.
Ensembles de Newton
Cette fractale naît de la résolution de l’équation z³ = 1 par la méthode de Newton–Raphson, où z est un nombre complexe : z = x + iy. On définit p(z) = z³ − 1 et on l’utilise dans une formule itérative qui doit converger vers zéro, trouvant ainsi une solution de la première équation. Une généralisation de l’itération de Newton est zₙ₊₁ = zₙ − a · p(zₙ) / p'(zₙ), où a est un nombre complexe quelconque et p'(z) la dérivée de p(z). Le choix a = 1 correspond à la fractale de Newton. La formule est appliquée à chaque point du plan complexe et colorée selon le nombre d’itérations nécessaires pour que p(z) converge (approximativement) vers zéro. Les régions monotones de la fractale sont en réalité des solutions de l’équation d’origine.
Newton⁴
La fractale de Newton classique utilise p(z) = z³ − 1, avec trois racines. Newton⁴ utilise p(z) = z⁴ − 1, avec quatre racines : les racines quatrièmes de l’unité (±1 et ±i). Les deux appliquent la méthode de Newton zₙ₊₁ = zₙ − p(zₙ) / p'(zₙ) dans le plan complexe et colorent chaque point de départ selon la racine qu’il approche. Pour z³ − 1 la mise à jour est zₙ₊₁ = zₙ − (zₙ³ − 1) / (3 zₙ²). Pour z⁴ − 1 c’est zₙ₊₁ = zₙ − (zₙ⁴ − 1) / (4 zₙ³). L’image a une symétrie rotationnelle d’ordre 4 au lieu de la symétrie ternaire de la fractale de Newton cubique. Les quatre bassins d’attraction — autour de 1, −1, i et −i — se rejoignent dans une dentelle de frontières fractales. Essayez Newton⁴ à côté de Newton dans Fractal Generator.
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