Meer informatie over fractals
Lees meer over de Mandelbrotverzameling, Juliaverzamelingen en Newtonfractals (inclusief Newton⁴) die je in Fractal Generator kunt verkennen.
De Mandelbrotverzameling
De Mandelbrotverzameling, in 1980 ontdekt door Benoît Mandelbrot, is waarschijnlijk de beroemdste fractal. Net als Juliaverzamelingen ontstaat hij uit een heel eenvoudige formule, maar hij is ongelooflijk complex. De Mandelbrotverzameling is losjes zelfgelijkend: delen van het oorspronkelijke fractal verschijnen opnieuw bij inzoomen, vaak vervormd en met andere ornamenten. Daarom is inzoomen zo de moeite waard: je weet nooit wat je hierna ziet. De Mandelbrotverzameling ontstaat met de formule zₙ₊₁ = zₙ² + c, waarbij z en c complexe getallen zijn: z = x + iy, z₀ = 0, en c een punt in het vlak. De formule wordt herhaald tot |zₙ| (de modulus van z) groter of gelijk is aan de ontsnappingswaarde 2. De pixel die bij c hoort, wordt dan gekleurd naar het aantal iteraties vóór die ontsnapping. Het saaie zwarte gebied is de echte Mandelbrotverzameling. Het bevat alle waarden van c waarbij |zₙ| nooit groter dan 2 werd. Dat gebied is onmogelijk exact te berekenen, dus kleurt het programma alle pixels zwart waarvoor |zₙ| bij een gegeven aantal iteraties, bijvoorbeeld 256, nooit groter dan 2 wordt. De kubische Mandelbrotverzameling ontstaat met zₙ₊₁ = zₙ³ + c. De kwartische Mandelbrotverzameling ontstaat met zₙ₊₁ = zₙ⁴ + c.
Juliaverzamelingen
Een van de meest basale fractaltypes is de familie van Juliaverzamelingen, ontdekt door de Franse wiskundige Gaston Julia tijdens de Eerste Wereldoorlog. Juliaverzamelingen ontstaan uit een eenvoudige formule met één complex parameter C of zaad. Die parameter kun je variëren voor veel varianten. Juliaverzamelingen zijn ook zelfgelijkend.
Newtonverzamelingen
Deze fractal ontstaat door de vergelijking z³ = 1 op te lossen met de Newton–Raphson-methode, waarbij z een complex getal is: z = x + iy. Je definieert p(z) = z³ − 1 en gebruikt die in een iteratieve formule die naar nul moet convergeren, zodat je een oplossing van de eerste vergelijking vindt. Een veralgemening van Newtons iteratie is zₙ₊₁ = zₙ − a · p(zₙ) / p'(zₙ), waarbij a elk complex getal kan zijn en p'(z) de afgeleide van p(z) is. De keuze a = 1 hoort bij de Newtonfractal. De formule wordt op elk punt van het complexe vlak toegepast en gekleurd naar het aantal iteraties dat p(z) nodig heeft om (bij benadering) naar nul te gaan. De saaie gebieden van de fractal zijn eigenlijk oplossingen van de oorspronkelijke vergelijking.
Newton⁴
De standaard-Newtonfractal gebruikt p(z) = z³ − 1, met drie wortels. Newton⁴ gebruikt p(z) = z⁴ − 1, met vier wortels: de vierde-eenheidswortels (±1 en ±i). Beide passen Newtons methode zₙ₊₁ = zₙ − p(zₙ) / p'(zₙ) toe op het complexe vlak en kleuren elk startpunt naar de wortel waar het naartoe gaat. Voor z³ − 1 is de stap zₙ₊₁ = zₙ − (zₙ³ − 1) / (3 zₙ²). Voor z⁴ − 1 is het zₙ₊₁ = zₙ − (zₙ⁴ − 1) / (4 zₙ³). Het beeld heeft viervoudige draaisymmetrie in plaats van de drievoudige symmetrie van de kubische Newtonfractal. De vier attractiebekkens — rond 1, −1, i en −i — komen samen in een kantwerk van fractale randen. Probeer Newton⁴ naast Newton in Fractal Generator.
Gerelateerde gereedschappen
Klaar om het te proberen?
Open PictorX in uw browser - geen installatie, geen creditcard vereist om te starten.
Verken fractals