Więcej informacji o fractals
Przeczytaj więcej o zbiorze Mandelbrota, zbiorach Julii i fraktalach Newtona (w tym Newton⁴), które odkryjesz w Generatorze fraktali.
Zbiór Mandelbrota
Zbiór Mandelbrota, odkryty w 1980 roku przez Benoîta Mandelbrota, to pewnie najsłynniejszy fraktal. Jak zbiory Julii, powstaje z bardzo prostego wzoru, ale jest niezwykle złożony. Zbiór Mandelbrota jest luźno samopodobny: fragmenty oryginalnego fraktala wracają przy powiększeniu, często zdeformowane i z innymi ozdobami. Dlatego tak satysfakcjonująco się w niego zagłębiać: nigdy nie wiesz, co zobaczysz dalej. Zbiór powstaje ze wzoru zₙ₊₁ = zₙ² + c, gdzie z i c są liczbami zespolonymi: z = x + iy, z₀ = 0, a c to punkt na płaszczyźnie. Wzór iteruje się, aż |zₙ| (moduł z) będzie większy lub równy wartości bailout 2. Piksel odpowiadający c koloruje się według liczby iteracji przed wyjściem. Nudny czarny obszar obrazu to właściwy zbiór Mandelbrota. Składa się ze wszystkich c, dla których |zₙ| nigdy nie przekroczyło 2. Tego obszaru nie da się policzyć dokładnie, więc program czerni piksele, dla których |zₙ| nie przekracza 2 przy danej liczbie iteracji, np. 256. Sześcienny Mandelbrot: zₙ₊₁ = zₙ³ + c. Czwartorzędowy: zₙ₊₁ = zₙ⁴ + c.
Zbiory Julii
Jednym z najbardziej podstawowych typów fraktali jest rodzina zbiorów Julii, odkryta przez francuskiego matematyka Gastona Julię podczas I wojny światowej. Zbiory Julii powstają z prostego wzoru z jednym parametrem zespolonym C albo ziarnem. Ten parametr można zmieniać, by tworzyć wiele wariantów. Zbiory Julii są też samopodobne.
Zbiory Newtona
Ten fraktal powstaje przez próbę rozwiązania równania z³ = 1 metodą Newtona–Raphsona, gdzie z jest liczbą zespoloną: z = x + iy. Definiuje się funkcję p(z) = z³ − 1 i używa jej w iteracyjnym wzorze, który powinien zbiegać do zera, znajdując z będące rozwiązaniem pierwszego równania. Uogólnienie iteracji Newtona to zₙ₊₁ = zₙ − a · p(zₙ) / p'(zₙ), gdzie a jest dowolną liczbą zespoloną, a p'(z) pochodną p(z). Szczególny wybór a = 1 odpowiada fraktalowi Newtona. Fraktal stosuje wzór do każdego punktu płaszczyzny zespolonej i koloruje go według liczby iteracji potrzebnych, by p(z) zbiegało (w przybliżeniu) do zera. Nudne obszary fraktala to w istocie rozwiązania oryginalnego równania.
Newton⁴
Standardowy fraktal Newtona używa p(z) = z³ − 1, z trzema pierwiastkami. Newton⁴ używa p(z) = z⁴ − 1, z czterema pierwiastkami: czwartymi pierwiastkami z jedności (±1 i ±i). Oba stosują metodę Newtona zₙ₊₁ = zₙ − p(zₙ) / p'(zₙ) na płaszczyźnie zespolonej i kolorują każdy punkt startowy według tego, do którego pierwiastka zmierza. Dla z³ − 1 aktualizacja to zₙ₊₁ = zₙ − (zₙ³ − 1) / (3 zₙ²). Dla z⁴ − 1: zₙ₊₁ = zₙ − (zₙ⁴ − 1) / (4 zₙ³). Obraz ma czterokrotną symetrię obrotową zamiast trzykrotnej sześciennego Newtona. Cztery baseny przyciągania — wokół 1, −1, i oraz −i — spotykają się w koronce fraktalnych granic. Wypróbuj Newton⁴ obok Newtona w Generatorze fraktali.
Powiązane narzędzia
Chcesz wypróbować?
Otwórz PictorX w swojej przeglądarce — do uruchomienia nie jest wymagana żadna instalacja ani karta kredytowa.
Odkrywaj fraktale