Sobre fractais | Mandelbrot, Julia, Newton, Newton⁴ e Nova

O conjunto de Mandelbrot

O conjunto de Mandelbrot, descoberto em 1980 por Benoît Mandelbrot, é provavelmente o fractal mais famoso. Como os conjuntos de Julia, é gerado por uma fórmula muito simples, mas é incrivelmente complexo. O conjunto de Mandelbrot é vagamente auto-semelhante: partes do fractal original reaparecem ao aproximar, muitas vezes deformadas e com outros ornamentos. Por isso vale tanto a pena aproximar: nunca se sabe o que se verá a seguir. O conjunto de Mandelbrot é produzido pela fórmula zₙ₊₁ = zₙ² + c, em que z e c são números complexos: z = x + iy, z₀ = 0, e c é um ponto no plano. A fórmula é iterada até |zₙ| (o módulo de z) ser maior ou igual ao valor de saída 2. O pixel que corresponde a c é então colorido segundo o número de iterações antes da saída. A zona preta pouco interessante é o verdadeiro conjunto de Mandelbrot. Contém todos os valores de c para os quais |zₙ| nunca ficou maior do que 2. Esta zona é impossível de calcular com exactidão, por isso o programa pinta de preto todos os píxeis para os quais |zₙ| não ultrapassa 2 num dado número de iterações, por exemplo 256. O conjunto de Mandelbrot cúbico é produzido por zₙ₊₁ = zₙ³ + c. O conjunto de Mandelbrot quártico é produzido por zₙ₊₁ = zₙ⁴ + c.

Conjunto de Mandelbrot com faixas de iteração coloridas, renderizado no PictorX

Conjuntos de Julia

Um dos tipos de fractais mais básicos é a família dos conjuntos de Julia, descoberta pelo matemático francês Gaston Julia durante a Primeira Guerra Mundial. Os conjuntos de Julia são criados por uma fórmula simples com um parâmetro complexo chamado C ou semente. Esse parâmetro pode variar para criar muitas variações. Os conjuntos de Julia também são auto-semelhantes.

Conjunto de Julia com espirais auto-semelhantes, renderizado no PictorX

Conjuntos de Newton

Este fractal cria-se ao tentar resolver a equação z³ = 1 com o método de Newton–Raphson, em que z é um número complexo: z = x + iy. Define-se p(z) = z³ − 1 e usa-se numa fórmula iterativa que deve convergir para zero, encontrando assim uma solução da primeira equação. Uma generalização da iteração de Newton é zₙ₊₁ = zₙ − a · p(zₙ) / p'(zₙ), em que a é qualquer número complexo e p'(z) é a derivada de p(z). A escolha a = 1 corresponde ao fractal de Newton. A fórmula aplica-se a cada ponto do plano complexo e colore-se segundo o número de iterações necessárias para p(z) convergir (aproximadamente) para zero. As regiões aborrecidas do fractal são de facto soluções da equação original.

Fractal de Newton com bacias de atração coloridas, renderizado no PictorX

Newton⁴

O fractal de Newton padrão usa p(z) = z³ − 1, com três raízes. Newton⁴ usa p(z) = z⁴ − 1, com quatro raízes: as raízes quartas da unidade (±1 e ±i). Ambos aplicam o método de Newton zₙ₊₁ = zₙ − p(zₙ) / p'(zₙ) no plano complexo e coloram cada ponto de partida segundo a raiz a que se aproxima. Para z³ − 1 a atualização é zₙ₊₁ = zₙ − (zₙ³ − 1) / (3 zₙ²). Para z⁴ − 1 é zₙ₊₁ = zₙ − (zₙ⁴ − 1) / (4 zₙ³). A imagem tem simetria rotacional de ordem 4 em vez da simetria ternária do fractal de Newton cúbico. As quatro bacias de atração — em torno de 1, −1, i e −i — encontram-se num rendilhado de fronteiras fractais. Experimente Newton⁴ ao lado de Newton no Fractal Generator.

Fractais Nova

Um fractal Nova é o método de Newton–Raphson com uma constante complexa c adicionada em cada passo. A atualização geral é zₙ₊₁ = zₙ − R · f(zₙ)/f'(zₙ) + c. A Nova do tipo Mandelbrot predefinida no PictorX usa f(z) = z² − 2 + 0.2i (logo f'(z) = 2z), relaxação complexa R = 1 + i e valor inicial z₀ = c (o píxel no plano). Cada píxel é colorido pelo número de iterações até z convergir (|Δz| < 10⁻⁴), não por escape para o infinito como em Mandelbrot ou Julia. Um R complexo torce as bacias em espirais assimétricas—experimente ajustar R e a constante aditiva de f no Fractal Generator.