Mais informação sobre fractais
Leia mais sobre o conjunto de Mandelbrot, os conjuntos de Julia e os fractais de Newton (incluindo Newton⁴) que pode explorar no gerador de fractais.
O conjunto de Mandelbrot
O conjunto de Mandelbrot, descoberto em 1980 por Benoît Mandelbrot, é provavelmente o fractal mais famoso. Como os conjuntos de Julia, é gerado por uma fórmula muito simples, mas é incrivelmente complexo. O conjunto de Mandelbrot é vagamente auto-semelhante: partes do fractal original reaparecem ao aproximar, muitas vezes deformadas e com outros ornamentos. Por isso vale tanto a pena aproximar: nunca se sabe o que se verá a seguir. O conjunto de Mandelbrot é produzido pela fórmula zₙ₊₁ = zₙ² + c, em que z e c são números complexos: z = x + iy, z₀ = 0, e c é um ponto no plano. A fórmula é iterada até |zₙ| (o módulo de z) ser maior ou igual ao valor de saída 2. O pixel que corresponde a c é então colorido segundo o número de iterações antes da saída. A zona preta pouco interessante é o verdadeiro conjunto de Mandelbrot. Contém todos os valores de c para os quais |zₙ| nunca ficou maior do que 2. Esta zona é impossível de calcular com exactidão, por isso o programa pinta de preto todos os píxeis para os quais |zₙ| não ultrapassa 2 num dado número de iterações, por exemplo 256. O conjunto de Mandelbrot cúbico é produzido por zₙ₊₁ = zₙ³ + c. O conjunto de Mandelbrot quártico é produzido por zₙ₊₁ = zₙ⁴ + c.
Conjuntos de Julia
Um dos tipos de fractais mais básicos é a família dos conjuntos de Julia, descoberta pelo matemático francês Gaston Julia durante a Primeira Guerra Mundial. Os conjuntos de Julia são criados por uma fórmula simples com um parâmetro complexo chamado C ou semente. Esse parâmetro pode variar para criar muitas variações. Os conjuntos de Julia também são auto-semelhantes.
Conjuntos de Newton
Este fractal cria-se ao tentar resolver a equação z³ = 1 com o método de Newton–Raphson, em que z é um número complexo: z = x + iy. Define-se p(z) = z³ − 1 e usa-se numa fórmula iterativa que deve convergir para zero, encontrando assim uma solução da primeira equação. Uma generalização da iteração de Newton é zₙ₊₁ = zₙ − a · p(zₙ) / p'(zₙ), em que a é qualquer número complexo e p'(z) é a derivada de p(z). A escolha a = 1 corresponde ao fractal de Newton. A fórmula aplica-se a cada ponto do plano complexo e colore-se segundo o número de iterações necessárias para p(z) convergir (aproximadamente) para zero. As regiões aborrecidas do fractal são de facto soluções da equação original.
Newton⁴
O fractal de Newton padrão usa p(z) = z³ − 1, com três raízes. Newton⁴ usa p(z) = z⁴ − 1, com quatro raízes: as raízes quartas da unidade (±1 e ±i). Ambos aplicam o método de Newton zₙ₊₁ = zₙ − p(zₙ) / p'(zₙ) no plano complexo e coloram cada ponto de partida segundo a raiz a que se aproxima. Para z³ − 1 a atualização é zₙ₊₁ = zₙ − (zₙ³ − 1) / (3 zₙ²). Para z⁴ − 1 é zₙ₊₁ = zₙ − (zₙ⁴ − 1) / (4 zₙ³). A imagem tem simetria rotacional de ordem 4 em vez da simetria ternária do fractal de Newton cúbico. As quatro bacias de atração — em torno de 1, −1, i e −i — encontram-se num rendilhado de fronteiras fractais. Experimente Newton⁴ ao lado de Newton no Fractal Generator.
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