프랙탈에 대한 추가 정보
프랙탈 생성기에서 탐색할 수 있는 Mandelbrot 집합, Julia 집합 및 Newton 도형(Newton⁴ 포함)에 대해 자세히 알아보세요.
만델브로 집합
1980년 Benoît Mandelbrot가 발견한 Mandelbrot 집합은 아마도 가장 유명한 프랙탈일 것입니다. Julia 집합과 마찬가지로 매우 간단한 공식으로 생성되지만 엄청나게 복잡합니다. 만델브로 집합은 느슨하게 자기유사합니다. 확대하면 원래 프랙탈의 일부가 다시 나타나지만 종종 변형되고 다른 장식으로 나타납니다. 이것이 이 프랙탈을 확대하는 것이 그토록 보람 있는 이유입니다. 다음에 무엇을 보게 될지 결코 알 수 없습니다. 만델브로 집합은 zₙ₊₁ = zₙ² + c 공식으로 생성됩니다. 여기서 z와 c는 복소수(z = x + iy, z₀ = 0)이고 c는 평면 위의 점입니다. 수식은 |zₙ| (z의 크기)는 베일아웃 값 2보다 크거나 같습니다. 그러면 c에 해당하는 픽셀은 프로세스가 베일아웃되기 전에 발생한 반복 횟수에 따라 색상이 지정됩니다. 이미지의 흥미롭지 않은 검은 부분은 실제 Mandelbrot 집합입니다. 이는 |zₙ|인 c에 대한 모든 값으로 구성됩니다. 2보다 커진 적은 없습니다. 물론 이 영역은 정확하게 계산하는 것이 불가능하므로 프로그램은 |zₙ| 주어진 반복 횟수(예: 256)에 대해 결코 2보다 커지지 않습니다. 3차 만델브로 집합은 공식 zₙ₊₁ = zₙ³ + c로 생성됩니다. Quartic Mandelbrot 집합은 공식 zₙ₊₁ = zₙ⁴ + c로 생성됩니다.
줄리아 세트
가장 기본적인 프랙탈 유형 중 하나는 1차 세계 대전 중 프랑스 수학자 가스통 줄리아(Gaston Julia)가 발견한 줄리아 집합군(Julia set family)입니다. Julia 집합은 C 또는 시드라는 하나의 복잡한 매개변수를 사용하는 간단한 공식으로 생성됩니다. 이 매개변수를 변경하여 다양한 변형을 만들 수 있습니다. Julia 집합도 자기유사성입니다.
뉴턴 세트
이 프랙탈은 Newton-Raphson 방법을 사용하여 방정식 z3 = 1을 풀려고 시도함으로써 생성됩니다. 여기서 z는 복소수: z = x + iy입니다. 여기에는 함수 p(z) = z³ − 1을 정의하고 이를 0으로 수렴해야 하는 반복 공식에 사용하여 첫 번째 방정식의 해인 z 값을 찾는 것이 포함됩니다. 뉴턴 반복의 일반화는 zₙ₊₁ = zₙ − a · p(zₙ) / p'(zₙ)입니다. 여기서 a는 임의의 복소수이고 p'(z)는 p(z)의 도함수입니다. 특별한 선택 a = 1은 뉴턴 프랙탈에 해당합니다. 이 프랙탈은 복소 평면의 각 점에 공식을 적용하고 p(z)가 (대략) 0으로 수렴하는 데 필요한 반복 횟수에 따라 색상을 지정합니다. 프랙탈의 지루한 영역은 실제로 원래 방정식의 해입니다.
뉴턴⁴
표준 뉴턴 프랙탈은 3개의 근을 갖는 p(z) = z³ − 1을 사용합니다. Newton⁴은 p(z) = z⁴ − 1을 사용하며 4개의 근, 즉 네 번째 단위근(±1 및 ±i)을 사용합니다. 둘 다 복소 평면에 걸쳐 뉴턴의 방법 zₙ₊₁ = zₙ − p(zₙ) / p'(zₙ)를 적용하고 근이 접근하는 각 시작점에 색상을 지정합니다. z³ − 1의 경우 업데이트는 zₙ₊₁ = zₙ − (zₙ³ − 1) / (3 zₙ²)입니다. z⁴ − 1의 경우 zₙ₊₁ = zₙ − (zₙ⁴ − 1) / (4 zₙ³)입니다. 그림은 입방체 뉴턴 프랙탈의 3중 대칭 대신 4중 회전 대칭을 갖습니다. 1, −1, i 및 −i 주변의 네 가지 인력 유역은 프랙탈 경계의 레이스에서 만납니다. Fractal Generator의 Newton 옆에 Newton⁴을 사용해 보세요.
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