Fractali
Citiți mai multe despre mulțimea Mandelbrot, mulțimile Julia, fractalii Newton (inclusiv Newton⁴) și fractalii Nova pe care îi puteți explora în Fractal Generator.
Setul Mandelbrot
Setul Mandelbrot, descoperit în 1980 de Benoît Mandelbrot, este probabil cel mai faimos fractal. La fel ca Julia, este generată de o formulă foarte simplă, dar este incredibil de complexă. Setul Mandelbrot este vag auto-similar: părți ale fractal original apar din nou atunci când zoom în, dar de multe ori deformat și cu diferite ornamente. Aceasta este ceea ce face atât de plină de satisfacții pentru a mări în acest fractal: nu știi niciodată ce vei vedea în continuare. Setul Mandelbrot este produs prin formula zn+1 = zn2 + c, unde z și c sunt numere complexe: z = x + iy, z0 = 0, iar c este un punct pe plan. Formula este iterată până când | zn | (dimensiunea z) este mai mare sau egală cu valoarea de salvare 2. Apoi pixelul care corespunde cu c este colorat în funcție de numărul de iterații care au avut loc înainte de proces salvat. Zona neagră neinteresantă a imaginii este setul actual Mandelbrot. Acesta constă din toate valorile pentru c în cazul în care | zn | nu a ajuns mai mare de 2. Desigur, această zonă este imposibil de calculat cu precizie, astfel încât culorile programului negru toate pixeli pentru care | zn | nu devine mai mare de 2 pentru un număr dat de iterații, de exemplu 256. Setul Cubic Mandelbrot este produs prin formula zn+1 = zn3 + c. Setul Quartic Mandelbrot este produs prin formula zn+1 = zn4 + c.
Julia setează
Unul dintre cele mai de bază tipuri fractale este familia de seturi Julia, descoperită de matematicianul francez Gaston Julia în timpul Primului Război Mondial. Seturile Julia sunt create printr-o formulă simplă cu un parametru complex numit C sau semințe. Acest parametru poate fi variat pentru a crea multe variante. Decorurile Julia sunt asemănătoare.
Seturi Newton
Acest fractal este creat prin încercarea de a rezolva ecuaţia z3 = 1, folosind metoda Newton Aceasta implică definirea funcției p(z) = z3 − 1, și utilizarea acesteia într-o formulă iterativă care ar trebui să convergă la zero, găsind astfel o valoare a z care este o soluție la prima ecuație. O generalizare a iterației lui Newton este zn+1 = zn − a · p(zn) / p'(zn), unde a este orice număr complex și p'(z) este derivatul p(z). Alegerea specială a = 1 corespunde fractalului Newton. Acest fractal aplică formula pentru fiecare punct din planul complex, și îl colorează în funcție de câte iterații sunt necesare pentru p(z) pentru a converge (aproximativ) la zero. Regiunile plictisitoare ale fractalului sunt de fapt soluţii ale ecuaţiei originale.
Newton 4color
Newton fractal standard folosește p(z) = z3 - 1, cu trei rădăcini. Newton4 folosește p(z) = z4 - 1, cu patru rădăcini: a patra rădăcină a unității (±1 și ±i). Ambele aplică metoda lui Newton zn+1 = zn − p(zn) / p'(zn) pe planul complex și culoarea fiecărui punct de plecare prin care se apropie rădăcina. Pentru z3 - 1 actualizarea este zn+1 = zn - (zn3 - 1) / (3 zn2). Pentru z4 - 1 este zn+1 = zn - (zn4 - 1) / (4 zn3). Imaginea are o simetrie de rotaţie de patru ori mai mare decât simetria triplă a fractalului Newton cubic. Cele patru bazine de atracţie Încearcă Newton4 lângă Newton în Fractal Generator.
Fractali Nova
Un fractal Nova este metoda Newton–Raphson cu o constantă complexă c adăugată la fiecare pas. Actualizarea generală este zₙ₊₁ = zₙ − R · f(zₙ)/f'(zₙ) + c. Nova de tip Mandelbrot implicită din PictorX folosește f(z) = z² − 2 + 0.2i (deci f'(z) = 2z), relaxarea complexă R = 1 + i și valoarea inițială z₀ = c (pixelul din plan). Fiecare pixel este colorat după câte iterații sunt necesare ca z să convergă (|Δz| < 10⁻⁴), nu după fuga la infinit ca la Mandelbrot sau Julia. Un R complex răsucește bazinele în spirale asimetrice—încercați să reglați R și constanta aditivă a lui f în Fractal Generator.
Unelte conexe
Explorează minunata lume a fractalilor
Explorează minunata lume a fractalilor. Fractalele sunt complexe, modele geometrice detaliate găsite în întreaga lume naturală.
Spirografe
Află cum hipotrochoidele și epitrochoidele formează curbe de spirograf—R, r și d, condiții de închidere, jucăria Denys Fisher și mandale digitale în PictorX.
Pendule de pictat
Află cum un pendul Blackburn pictează figuri Lissajous—doi oscilatori perpendiculari, rapoarte de frecvență, spirale de amortizare—și încearcă Painting Pendulum în PictorX.
Eşti gata să încerci?
Deschide PictorX în browser-ul tău
Explorează fractali