Mehr Informationen über Fraktale
Lesen Sie mehr über die Mandelbrot-Menge, Julia-Mengen und Newton-Fraktale (einschließlich Newton⁴), die Sie im Fraktal Generator erkunden können.
Die Mandelbrot-Menge
Die Mandelbrot-Menge, 1980 von Benoît Mandelbrot entdeckt, ist wohl das berühmteste Fraktal. Wie Julia-Mengen entsteht sie aus einer sehr einfachen Formel, ist aber unglaublich komplex. Die Mandelbrot-Menge ist lose selbstähnlich: Teile des ursprünglichen Fraktals erscheinen beim Hineinzoomen wieder, oft verformt und mit anderen Ornamenten. Deshalb lohnt sich das Zoomen: Man weiß nie, was als Nächstes erscheint. Die Mandelbrot-Menge entsteht durch die Formel zₙ₊₁ = zₙ² + c, wobei z und c komplexe Zahlen sind: z = x + iy, z₀ = 0, und c ein Punkt in der Ebene. Die Formel wird iteriert, bis |zₙ| (der Betrag von z) größer oder gleich dem Abbruchwert 2 ist. Dann wird das Pixel, das zu c gehört, nach der Anzahl der Iterationen vor dem Abbruch eingefärbt. Der unscheinbare schwarze Bereich ist die eigentliche Mandelbrot-Menge. Er umfasst alle Werte für c, bei denen |zₙ| nie größer als 2 wurde. Genau berechnen lässt sich dieser Bereich nicht, daher färbt das Programm alle Pixel schwarz, für die |zₙ| bei einer gegebenen Iterationszahl, zum Beispiel 256, nie größer als 2 wird. Die kubische Mandelbrot-Menge entsteht durch zₙ₊₁ = zₙ³ + c. Die quartische Mandelbrot-Menge entsteht durch zₙ₊₁ = zₙ⁴ + c.
Julia-Mengen
Eine der grundlegendsten Fraktalarten ist die Familie der Julia-Mengen, die der französische Mathematiker Gaston Julia im Ersten Weltkrieg entdeckte. Julia-Mengen entstehen durch eine einfache Formel mit einem komplexen Parameter C oder Seed. Dieser Parameter lässt sich variieren, um viele Varianten zu erzeugen. Julia-Mengen sind ebenfalls selbstähnlich.
Newton-Mengen
Dieses Fraktal entsteht beim Versuch, die Gleichung z³ = 1 mit dem Newton-Raphson-Verfahren zu lösen, wobei z eine komplexe Zahl ist: z = x + iy. Dazu definiert man p(z) = z³ − 1 und setzt sie in eine iterative Formel ein, die gegen null konvergieren soll und so eine Lösung der Ausgangsgleichung findet. Eine Verallgemeinerung der Newton-Iteration ist zₙ₊₁ = zₙ − a · p(zₙ) / p'(zₙ), wobei a eine beliebige komplexe Zahl und p'(z) die Ableitung von p(z) ist. Die Wahl a = 1 entspricht dem Newton-Fraktal. Die Formel wird auf jeden Punkt der komplexen Ebene angewandt und nach der Anzahl der Iterationen eingefärbt, die p(z) braucht, um (näherungsweise) gegen null zu gehen. Die langweiligen Bereiche des Fraktals sind tatsächlich Lösungen der ursprünglichen Gleichung.
Newton⁴
Das klassische Newton-Fraktal verwendet p(z) = z³ − 1 mit drei Wurzeln. Newton⁴ verwendet p(z) = z⁴ − 1 mit vier Wurzeln: den vierten Einheitswurzeln (±1 und ±i). Beide wenden das Newton-Verfahren zₙ₊₁ = zₙ − p(zₙ) / p'(zₙ) auf die komplexe Ebene an und färben jeden Startpunkt danach, welcher Wurzel er zustrebt. Für z³ − 1 lautet die Iteration zₙ₊₁ = zₙ − (zₙ³ − 1) / (3 zₙ²). Für z⁴ − 1 ist es zₙ₊₁ = zₙ − (zₙ⁴ − 1) / (4 zₙ³). Das Bild hat vierzählige Drehsymmetrie statt der dreizähligen Symmetrie des kubischen Newton-Fraktals. Die vier Einzugsgebiete um 1, −1, i und −i treffen sich in einer Spitze fraktaler Ränder. Probieren Sie Newton⁴ neben Newton im Fraktal Generator.
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