Más información sobre los fractales
Lee más sobre el conjunto de Mandelbrot, los conjuntos de Julia y los fractales de Newton (incluido Newton⁴) que puedes explorar en el generador de fractales.
El conjunto de Mandelbrot
El conjunto de Mandelbrot, descubierto en 1980 por Benoît Mandelbrot, es probablemente el fractal más famoso. Como los conjuntos de Julia, se genera con una fórmula muy simple, pero es increíblemente complejo. El conjunto de Mandelbrot es débilmente autosemejante: partes del fractal original reaparecen al ampliar, a menudo deformadas y con adornos distintos. Por eso merece tanto la pena acercarse: nunca sabes qué verás a continuación. El conjunto de Mandelbrot se produce con la fórmula zₙ₊₁ = zₙ² + c, donde z y c son números complejos: z = x + iy, z₀ = 0, y c es un punto del plano. La fórmula se itera hasta que |zₙ| (el módulo de z) es mayor o igual que el valor de escape 2. Entonces el píxel que corresponde a c se colorea según el número de iteraciones antes del escape. El área negra poco interesante es el conjunto de Mandelbrot propiamente dicho. Contiene todos los valores de c para los que |zₙ| nunca superó 2. Esa área es imposible de calcular con exactitud, así que el programa pinta de negro todos los píxeles para los que |zₙ| no supera 2 en un número dado de iteraciones, por ejemplo 256. El conjunto de Mandelbrot cúbico se produce con zₙ₊₁ = zₙ³ + c. El conjunto de Mandelbrot cuártico se produce con zₙ₊₁ = zₙ⁴ + c.
Conjuntos de Julia
Uno de los tipos de fractales más básicos es la familia de conjuntos de Julia, descubierta por el matemático francés Gaston Julia durante la Primera Guerra Mundial. Los conjuntos de Julia se crean con una fórmula simple y un parámetro complejo llamado C o semilla. Ese parámetro se puede variar para obtener muchas variaciones. Los conjuntos de Julia también son autosemejantes.
Conjuntos de Newton
Este fractal se crea al intentar resolver la ecuación z³ = 1 con el método de Newton–Raphson, donde z es un número complejo: z = x + iy. Se define p(z) = z³ − 1 y se usa en una fórmula iterativa que debe converger a cero, hallando así una solución de la primera ecuación. Una generalización de la iteración de Newton es zₙ₊₁ = zₙ − a · p(zₙ) / p'(zₙ), donde a es cualquier número complejo y p'(z) es la derivada de p(z). La elección a = 1 corresponde al fractal de Newton. La fórmula se aplica a cada punto del plano complejo y se colorea según cuántas iteraciones necesita p(z) para converger (aproximadamente) a cero. Las regiones aburridas del fractal son en realidad soluciones de la ecuación original.
Newton⁴
El fractal de Newton estándar usa p(z) = z³ − 1, con tres raíces. Newton⁴ usa p(z) = z⁴ − 1, con cuatro raíces: las raíces cuartas de la unidad (±1 y ±i). Ambos aplican el método de Newton zₙ₊₁ = zₙ − p(zₙ) / p'(zₙ) en el plano complejo y colorean cada punto de partida según la raíz a la que se acerca. Para z³ − 1 la actualización es zₙ₊₁ = zₙ − (zₙ³ − 1) / (3 zₙ²). Para z⁴ − 1 es zₙ₊₁ = zₙ − (zₙ⁴ − 1) / (4 zₙ³). La imagen tiene simetría rotacional de orden 4 en lugar de la simetría ternaria del fractal de Newton cúbico. Las cuatro cuencas de atracción — alrededor de 1, −1, i y −i — se encuentran en un encaje de fronteras fractales. Prueba Newton⁴ junto a Newton en Fractal Generator.
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