المزيد من المعلومات عن الكسيريات
اقرأ المزيد عن مجموعة ماندلبرو ومجموعات جوليا وكسيريات نيوتن (بما في ذلك Newton⁴) التي يمكنك استكشافها في مولّد الكسيريات.
مجموعة ماندلبرو
مجموعة ماندلبرو، التي اكتشفها بينوا ماندلبرو عام 1980، أشهر الكسيريات على الأرجح. مثل مجموعات جوليا، تُولَّد بصيغة بسيطة جداً لكنها بالغة التعقيد. المجموعة متشابهة ذاتياً بشكل فضفاض: أجزاء من الكسيرية الأصلية تعود عند التكبير، لكنها غالباً مشوّهة وبزخارف مختلفة. لهذا يستحق التكبير: لا تعرف ماذا سترى بعد ذلك. تُنتج مجموعة ماندلبرو بالصيغة zₙ₊₁ = zₙ² + c، حيث z وc عددان عقديان: z = x + iy، وz₀ = 0، وc نقطة في المستوى. تُكرَّر الصيغة حتى يصبح |zₙ| (مقدار z) أكبر من أو يساوي قيمة الخروج 2. ثم يُلوَّن البكسل المقابل لـ c حسب عدد التكرارات قبل الخروج. المنطقة السوداء غير الشيقة هي مجموعة ماندلبرو نفسها. تضم كل قيم c التي لم يتجاوز فيها |zₙ| القيمة 2. يستحيل حساب هذه المنطقة بدقة، لذلك يلوّن البرنامج بالأسود كل بكسل لا يتجاوز فيه |zₙ| القيمة 2 لعدد معيّن من التكرارات، مثلاً 256. تُنتج مجموعة ماندلبرو التكعيبية بالصيغة zₙ₊₁ = zₙ³ + c. وتُنتج الرباعية بالصيغة zₙ₊₁ = zₙ⁴ + c.
مجموعات جوليا
من أبسط أنواع الكسيريات عائلة مجموعات جوليا، التي اكتشفها الرياضي الفرنسي غاستون جوليا خلال الحرب العالمية الأولى. تُنشأ مجموعات جوليا بصيغة بسيطة ذات معامل عقدي واحد يُسمى C أو البذرة. يمكن تغيير هذا المعامل لصنع تنويعات كثيرة. مجموعات جوليا متشابهة ذاتياً أيضاً.
مجموعات نيوتن
تُنشأ هذه الكسيرية بمحاولة حل المعادلة z³ = 1 بطريقة نيوتن–رافسون، حيث z عدد عقدي: z = x + iy. يُعرَّف الدالة p(z) = z³ − 1 وتُستخدم في صيغة تكرارية يفترض أن تتقارب إلى الصفر، فتُوجد قيمة z تحل المعادلة الأولى. تعميم تكرار نيوتن هو zₙ₊₁ = zₙ − a · p(zₙ) / p'(zₙ)، حيث a أي عدد عقدي وp'(z) مشتقة p(z). الاختيار a = 1 يقابل كسيرية نيوتن. تُطبَّق الصيغة على كل نقطة في المستوى العقدي وتُلوَّن حسب عدد التكرارات اللازمة لتقارب p(z) (تقريباً) إلى الصفر. المناطق المملة في الكسيرية هي في الواقع حلول المعادلة الأصلية.
Newton⁴
تستخدم كسيرية نيوتن القياسية p(z) = z³ − 1 بثلاثة جذور. Newton⁴ تستخدم p(z) = z⁴ − 1 بأربعة جذور: الجذور الرابعة للوحدة (±1 و±i). كلاهما يطبّق طريقة نيوتن zₙ₊₁ = zₙ − p(zₙ) / p'(zₙ) على المستوى العقدي ويلوّن كل نقطة بداية حسب الجذر الذي تقترب منه. لتحديث z³ − 1 يكون zₙ₊₁ = zₙ − (zₙ³ − 1) / (3 zₙ²). ولـ z⁴ − 1 يكون zₙ₊₁ = zₙ − (zₙ⁴ − 1) / (4 zₙ³). للصورة تناظر دوراني رباعي بدل التناظر الثلاثي لكسيرية نيوتن التكعيبية. أحواض الجذب الأربعة — حول 1 و−1 وi و−i — تلتقي في شبكة من الحدود الكسيرية. جرّب Newton⁴ بجانب Newton في مولّد الكسيريات.
الأدوات ذات الصلة
هل أنت مستعد لتجربتها؟
افتح PictorX في متصفحك - بدون تثبيت، ولا يلزم وجود بطاقة ائتمان للبدء.
استكشف الكسيريات