Fraktallar hakkında | Mandelbrot, Julia, Newton, Newton⁴ ve Nova

Mandelbrot seti

Mandelbrot seti, Benoît Mandelbrot tarafından keşfedildi, muhtemelen en ünlü fraktal. Julia setleri gibi, çok basit bir formül tarafından oluşturulur, ancak inanılmaz derecede karmaşıktır. Mandelbrot seti tamamen kendi kendine özgüdür: Orijinal fraktal parçalar tekrar ortaya çıktığında görünür, ancak sık bilgilendirilir ve farklı süslemelerle. Bu, bu fraktal'a yakınlaştırmayı çok ödüllendiren şeydir: Bir daha neler göreceğinizi asla bilemezsiniz. Mandelbrot seti formül zn+1 = zn2 + c, z ve c karmaşık sayılar: z = x + iy, z0 = 0, ve c uçakta bir nokta. Formül, | zn | 'e kadar hızlanır ( z) kurtarma değerine eşit veya 2'ye eşittir. Ardından, c'nin karşılık gelen piksel, işlemden önce gerçekleşen iterasyon sayısına göre renklidir. Görüntünün ilgisizliği gerçek Mandelbrot setidir. | zn | EX'in 2'den daha büyük olmadığı c için tüm değerlerden oluşur. Tabii ki bu alan doğru bir şekilde hesaplamak imkansızdır, bu nedenle program, | zn | 'in verilen sayıdaki iterasyonlar için 2'den daha büyük asla almadığı için, örneğin 256. Cubic Mandelbrot seti formül zn + = zn3 + c ile üretilir. Quartic Mandelbrot seti formül zn + = zn4 + c ile üretilir.

Mandelbrot renkli iterasyon gruplarında fraktal ayarladı, PictorX'te yapıldı

Julia setleri

En temel fraktal tiplerden biri, Birinci Dünya Savaşı sırasında Fransız matematikçi Gaston Julia tarafından keşfedildi. Julia setleri C veya tohum denilen karmaşık bir parametre ile basit bir formül tarafından oluşturulur. Bu parametre birçok varyasyon oluşturmak için çeşitli olabilir. Julia setleri de kendi kendine özgüdür.

Julia, PictorX'te yapılan kendi benzeri spirallerle fraktal kurdu.

Newton setleri

Bu fraktal, denklem z3 = 1'i çözmeye çalışarak, Newton-Raphson yöntemi kullanarak, z'nin karmaşık bir sayı olduğu: z = x + iy. Bu, işlevi p(z) = z3 - 1'i tanımlamak ve sıfıra yakın olan bir iteratif formülde kullanmak, böylece ilk denkleme bir çözüm bulmak. Newton'un iterasyonunun genelleştirilmesi zn + = zn - bir · p(zn) / p'(zn), herhangi bir karmaşık sayı ve p'(z) p türüdür. Özel bir seçim = 1 Newton fraktal'a karşılık gelir. Bu fraktal, karmaşık uçaktaki her noktaya formülü uygular ve birçok iterasyonun p(z) bir araya gelmeleri (yaklaşık) sıfıra kadar ne kadar gereklidir. Fraktal'ın sıkıcı bölgeleri aslında orijinal denklemin çözümleridir.

Newton fractal, renkli basins of cazibe gösteriyor, PictorX'te yapıldı

Newton4

Standart Newton fraktal p(z) = z3 - 1, üç kökle kullanır. Newton4 p(z) = z4 - 1, dört kökle: birliğin dördüncü kökleri (±1 ve ±i). Her ikisi de Newton'un yöntemi zn + = zn - p(zn) / p'(zn) karmaşık uçakta ve her başlangıç noktasının hangi köke yaklaştığını uygular. Z3 için - 1 güncelleme zn + = zn - (zn3 - 1) / (3 zn2). Z4 için - 1 zn + = zn - (zn4 - 1) / (4 zn3). Resim, metre Newton fraktalinin üç katı simetrisi yerine dört yönlü rotasyonel simetriye sahiptir. Dört çekim köşesi - yaklaşık 1, -1, i ve -i - fraktal sınırların bir bölgesinde buluş. Newton4'ü Fractal Jeneratörte bir sonraki deneyin.

Dört çekim havzası gösteren Newton⁴ fraktalı, PictorX'te oluşturuldu

Nova fraktalları

Nova fraktalı, her adımda eklenen karmaşık sabit c ile Newton–Raphson kök bulmadır. Genel güncelleme zₙ₊₁ = zₙ − R · f(zₙ)/f'(zₙ) + c şeklindedir. PictorX’in varsayılan Mandelbrot tipi Nova’sı f(z) = z² − 2 + 0.2i (yani f'(z) = 2z), karmaşık gevşeme R = 1 + i ve başlangıç değeri z₀ = c (düzlemdeki piksel) kullanır. Her piksel, Mandelbrot veya Julia’daki gibi sonsuza kaçışa göre değil, z’nin yakınsaması için gereken yineleme sayısına göre renklendirilir (|Δz| < 10⁻⁴). Karmaşık R, havzaları asimetrik sarmallara büker—Fractal Generator’da R’yi ve f’nin toplamsal sabitini ayarlamayı deneyin.

İlgili araçlar

Bunu denemeye hazır mısın?

Pencere PictorX tarayıcınızda - yükleme yok, başlamak için gerekli kredi kartı yok.

raktals keşfedin