Về phân dạng | Mandelbrot, Julia, Newton, Newton⁴ & Nova

Bộ Mandelbrot

Bộ Mandelbrot, được phát hiện vào năm 1980 bởi Beno vội Mandelbrot, có lẽ là phân dạng nổi tiếng nhất. Giống như Julia Set, nó được tạo ra bởi một công thức rất đơn giản, nhưng nó cực kỳ phức tạp. Bộ Mandelbrot là một phần của phân dạng ban đầu xuất hiện trở lại khi phóng to, nhưng thường biến dạng và trang trí khác nhau. Đây là điều làm cho việc phóng to phân dạng này trở nên thú vị: bạn không bao giờ biết bạn sẽ thấy gì tiếp theo. Các Mandelbrot được sản xuất bởi công thức zn + 2 + c, nơi z và c là số phức tạp: z = x + iy, z0 = 0, và c là một điểm trên máy bay. Công thức được lặp lại cho đến khi | zn | (độ lớn của z) lớn hơn hoặc bằng giá trị cứu trợ 2. Sau đó các điểm ảnh mà c tương ứng với màu theo số lần lặp xảy ra trước khi quá trình bảo tồn ra. Khu vực màu đen không thú vị là bộ Mandelbrot thật. Nó bao gồm tất cả các giá trị cho c nơi | zn | không bao giờ có lớn hơn 2. Dĩ nhiên, khu vực này không thể tính toán chính xác, vì vậy chương trình màu đen tất cả các điểm ảnh mà | zn XRPIpEX không bao giờ lớn hơn 2 cho một số lần lặp, ví dụ. Các bậc ba Mandelbrot được sản xuất bởi công thức zn + c. Công thức Mandelbrot được sản xuất bởi công thức zn + c.

Mandelbrot thiết lập phân dạng với các ban nhạc lặp nhiều màu sắc, được xuất bản trong PictorX

Julia set

Một trong những dạng phân dạng cơ bản nhất là gia đình Julia, được nhà toán học người Pháp Gaston Julia phát hiện trong Thế chiến thứ nhất. Julia Set được tạo ra bởi một công thức đơn giản với một tham số phức tạp gọi là C hoặc hạt giống. Tham số này có thể khác nhau để tạo ra nhiều biến thể. Julia Set cũng rất tự đồng cảm.

Julia thiết lập phân dạng với xoắn ốc tự đồng dạng, được vẽ trong PictorX

Newton đặt

Phân dạng này được tạo ra bằng cách cố gắng để giải phương trình z3 = 1, bằng phương pháp Newton–Raphson, nơi z là một số phức tạp: z = x + iy. Điều này bao gồm xác định chức năng p(z) = z3 1, và sử dụng nó trong một công thức lặp nên hội tụ lại bằng 0, do đó tìm một giá trị của z mà là một giải pháp cho phương trình đầu tiên. Một khái quát của lặp lại của Newton là zn + zn = zn* p(zn), trong đó một là bất kỳ số phức tạp và p'(z) là đạo hàm của p(z). Lựa chọn đặc biệt a = 1 tương ứng với phân dạng Newton. Phân dạng này áp dụng công thức cho mỗi điểm trên mặt phẳng phức tạp, và tô màu nó tùy theo số lần lặp lại cần thiết cho p(z) để hội tụ (thường) đến số không. Những vùng nhàm chán của phân dạng thực sự là giải pháp cho phương trình ban đầu.

Newton phân dạng hiển thị các thùng hấp dẫn màu sắc, được xuất bản trong PictorX

Newton4

Các phân dạng Newton tiêu chuẩn sử dụng p(z) = z3 tôm 1, với ba gốc. Newton4 sử dụng p(z) = z4 1, với bốn rễ: rễ thứ tư của sự hợp nhất (Gy1 và vội). Cả hai phương pháp của Newton zn + zn z(zn) / p'(zn) trên mặt phẳng phức tạp và màu mỗi điểm bắt đầu mà nó tiếp cận. Đối với z3 1, bản cập nhật là zn + zn (zn3 1) / (3 zn2). Đối với z4 1, đó là zn + zn (zn4 1) / (4 zn3). Bức ảnh có sự đối xứng bốn vòng thay vì sự đối xứng ba phần của phân dạng Newton bậc ba. Bốn mạch thu hút — khoảng 1, 2, I và i — gặp nhau trong một dải ranh giới phân dạng. Thử Newton4 cạnh Newton ở máy tạo phân dạng.

Phân dạng Newton⁴ với bốn vùng hút, dựng trong PictorX

Phân dạng Nova

Phân dạng Nova là phương pháp Newton–Raphson với hằng số phức c được cộng thêm ở mỗi bước. Công thức cập nhật tổng quát là zₙ₊₁ = zₙ − R · f(zₙ)/f'(zₙ) + c. Nova kiểu Mandelbrot mặc định của PictorX dùng f(z) = z² − 2 + 0.2i (vậy f'(z) = 2z), hệ số nới lỏng phức R = 1 + i và giá trị ban đầu z₀ = c (điểm ảnh trên mặt phẳng). Mỗi điểm ảnh được tô màu theo số vòng lặp đến khi z hội tụ (|Δz| < 10⁻⁴), chứ không theo thoát ra vô cực như Mandelbrot hay Julia. R phức xoắn các lưu vực thành xoắn ốc bất đối xứng—hãy thử chỉnh R và hằng số cộng của f trong Fractal Generator.

Công cụ liên quan

Ví dụ Khám phá thế giới phân dạng tuyệt vời trong PictorX

Sẵn sàng thử chưa?

Mở PictorX trong trình duyệt của bạn — không cài đặt, không cần thiết thẻ tín dụng để khởi động.

Khám phá phân dạng