Подробнее о фракталах
Подробнее о множестве Мандельброта, множествах Жюлиа и фракталах Ньютона (включая Newton⁴), которые можно исследовать в генераторе фракталов.
Множество Мандельброта
Множество Мандельброта, открытое в 1980 году Бенуа Мандельбротом, — пожалуй, самый известный фрактал. Как и множества Жюлиа, оно порождается очень простой формулой, но невероятно сложно. Множество Мандельброта лишь отчасти самоподобно: фрагменты исходного фрактала снова появляются при приближении, но часто в искажённом виде и с другими украшениями. Поэтому увеличивать его так интересно: никогда не знаешь, что увидишь дальше. Множество Мандельброта строится по формуле zₙ₊₁ = zₙ² + c, где z и c — комплексные числа: z = x + iy, z₀ = 0, а c — точка плоскости. Формула итерируется, пока |zₙ| (модуль z) не станет больше или равен порогу выхода 2. Пиксель, соответствующий c, окрашивается по числу итераций до выхода. Невзрачная чёрная область — и есть само множество Мандельброта. В неё входят все c, для которых |zₙ| так и не превысил 2. Точно вычислить эту область нельзя, поэтому программа красит чёрным все пиксели, для которых |zₙ| не превышает 2 при заданном числе итераций, например 256. Кубическое множество Мандельброта строится по zₙ₊₁ = zₙ³ + c. Квартическое — по zₙ₊₁ = zₙ⁴ + c.
Множества Жюлиа
Один из самых базовых типов фракталов — семейство множеств Жюлиа, открытое французским математиком Гастоном Жюлиа во время Первой мировой войны. Множества Жюлиа создаются простой формулой с одним комплексным параметром C, или семенем. Этот параметр можно менять, получая множество вариаций. Множества Жюлиа тоже самоподобны.
Множества Ньютона
Этот фрактал возникает при попытке решить уравнение z³ = 1 методом Ньютона–Рафсона, где z — комплексное число: z = x + iy. Задают функцию p(z) = z³ − 1 и подставляют её в итерационную формулу, которая должна сходиться к нулю и тем самым находить решение исходного уравнения. Обобщение итерации Ньютона: zₙ₊₁ = zₙ − a · p(zₙ) / p'(zₙ), где a — любое комплексное число, а p'(z) — производная p(z). Выбор a = 1 соответствует фракталу Ньютона. Формула применяется к каждой точке комплексной плоскости и окрашивается по числу итераций, нужных p(z), чтобы (приблизительно) сойтись к нулю. Скучные области фрактала — на самом деле решения исходного уравнения.
Newton⁴
Классический фрактал Ньютона использует p(z) = z³ − 1 с тремя корнями. Newton⁴ использует p(z) = z⁴ − 1 с четырьмя корнями: корнями четвёртой степени из единицы (±1 и ±i). Оба применяют метод Ньютона zₙ₊₁ = zₙ − p(zₙ) / p'(zₙ) на комплексной плоскости и окрашивают каждую начальную точку по тому, к какому корню она стремится. Для z³ − 1 шаг равен zₙ₊₁ = zₙ − (zₙ³ − 1) / (3 zₙ²). Для z⁴ − 1 это zₙ₊₁ = zₙ − (zₙ⁴ − 1) / (4 zₙ³). Картина обладает четырёхкратной поворотной симметрией вместо тройной симметрии кубического фрактала Ньютона. Четыре бассейна притяжения — вокруг 1, −1, i и −i — сходятся в кружеве фрактальных границ. Попробуйте Newton⁴ рядом с Newton в генераторе фракталов.
Сопутствующие инструменты
Готовы попробовать?
Откройте PictorX в своем браузере — установка не требуется, для запуска не требуется кредитная карта.
Исследовать фракталы