Om fraktaler | Mandelbrot, Julia, Newton, Newton⁴ & Nova

Mandelbrot set

Mandelbrot set, upptäckt 1980 av Benoît Mandelbrot, är förmodligen den mest kända fraktalen. Liksom Julia uppsättningar, det genereras av en mycket enkel formel, men det är otroligt komplex. Mandelbrot-uppsättningen är löst självliknande: delar av den ursprungliga fraktalen dyker upp igen när man zoomar in, men ofta deformeras och med olika ornament. Detta gör det så givande att zooma in i denna fraktal: du vet aldrig vad du kommer att se nästa. Mandelbrot-uppsättningen produceras av formeln zn + 1 = zn2 + c, där z och c är komplexa siffror: z = x + iy, z0 = 0, och c är en punkt på planet. Formeln är itererad till | zn | (storleken på z) är större än eller lika med bailout värde 2. Då är pixeln som c motsvarar färgad enligt antalet iterationer som inträffade innan processen borrade ut. Det ointressanta svarta området av bilden är den faktiska Mandelbrot-uppsättningen. Den består av alla värden för c där | zn | aldrig blev större än 2. Naturligtvis är detta område omöjligt att beräkna exakt, så programmet färgar svart alla pixlar för vilka | zn | aldrig blir större än 2 för ett visst antal iterationer, till exempel 256. Cubic Mandelbrot set produceras av formeln zn + 1 = zn3 + c. Den Quartic Mandelbrot set produceras av formeln zn + 1 = zn4 + c.

Mandelbrot satt fraktal med färgglada iterationsband, återges i PictorX

Julia sets

En av de mest grundläggande fraktaltyperna är familjen av Julia uppsättningar, upptäckt av den franska matematikern Gaston Julia under första världskriget. Julia uppsättningar skapas av en enkel formel med en komplex parameter som kallas C eller frö. Denna parameter kan varieras för att skapa många variationer. Julia set är också självliknande.

Julia satte fraktal med självliknande spiraler, som gjordes i PictorX

Newton sets

Denna fraktal skapas genom att försöka lösa ekvationen z3 = 1, med hjälp av Newton-Raphson-metoden, där z är ett komplext nummer: z = x + iy. Detta innebär att definiera funktionen p(z) = z3 − 1, och använda den i en iterativ formel som bör konvergera till noll, vilket innebär att hitta ett värde av z som är en lösning på den första ekvationen. En generalisering av Newtons iteration är zn+1 = zn − a · p(zn) / p'(zn), där ett är något komplext nummer och p'(z) är derivat av p(z). Det speciella valet a = 1 motsvarar Newton-fraktalen. Denna fraktal tillämpar formeln på varje punkt på det komplexa planet, och färgar den enligt hur många iterationer som krävs för att p(z) ska konvergera (cirka) till noll. De tråkiga regionerna i fraktalen är faktiskt lösningar av den ursprungliga ekvationen.

Newton fraktal visar färgade bassänger av attraktion, återges i PictorX

Newton4

Standarden Newton fraktal använder p(z) = z3 − 1, med tre rötter. Newton4 använder p(z) = z4 − 1, med fyra rötter: enhetens fjärde rötter (±1 och ±i). Båda tillämpar Newtons metod zn + 1 = zn − p(zn) / p'(zn) över det komplexa planet och färg varje utgångspunkt genom vilken rot det närmar sig. För z3 − 1 är uppdateringen zn+1 = zn − (zn3 − 1) / (3 zn2). För z4 − 1 är det zn+1 = zn − (zn4 − 1) / (4 zn3). Bilden har fyrfaldig rotationssymmetri istället för den trefaldiga symmetrin i den kubiska Newton-fraktalen. De fyra bassängerna av attraktion - omkring 1, −1, i och −i - möts i ett spets av fraktala gränser. Prova Newton4 bredvid Newton i Fractal Generator.

Newton⁴-fraktal med fyra attraktionsbassänger, återgiven i PictorX

Novafraktaler

En Novafraktal är Newton–Raphson med en komplex konstant c tillagd i varje steg. Den allmänna uppdateringen är zₙ₊₁ = zₙ − R · f(zₙ)/f'(zₙ) + c. PictorX standard-Nova av Mandelbrot-typ använder f(z) = z² − 2 + 0.2i (alltså f'(z) = 2z), komplex relaxation R = 1 + i och startvärde z₀ = c (pixeln i planet). Varje pixel färgläggs efter hur många iterationer som krävs för att z ska konvergera (|Δz| < 10⁻⁴), inte efter flykt till oändligheten som i Mandelbrot eller Julia. Ett komplext R vrider bassängerna till asymmetriska spiraler—prova att justera R och den additiva konstanten för f i Fractal Generator.

Relaterade verktyg

Redo att prova det?

Öppna PictorX i din webbläsare - ingen installation, inget kreditkort krävs för att starta.

Utforska fraktaler