Frattali
Scopri di più sull’insieme di Mandelbrot, gli insiemi di Julia, i frattali di Newton (incluso Newton⁴) e i frattali Nova che puoi esplorare in Fractal Generator.
L’insieme di Mandelbrot
L’insieme di Mandelbrot, scoperto nel 1980 da Benoît Mandelbrot, è probabilmente il frattale più famoso. Come gli insiemi di Julia, è generato da una formula molto semplice, ma è incredibilmente complesso. L’insieme di Mandelbrot è debolmente auto-simile: parti del frattale originale riappaiono ingrandendo, spesso deformate e con ornamenti diversi. Per questo zoomare è così gratificante: non sai mai cosa vedrai dopo. L’insieme di Mandelbrot è prodotto dalla formula zₙ₊₁ = zₙ² + c, dove z e c sono numeri complessi: z = x + iy, z₀ = 0, e c è un punto del piano. La formula viene iterata finché |zₙ| (il modulo di z) è maggiore o uguale al valore di uscita 2. Il pixel che corrisponde a c viene colorato in base al numero di iterazioni prima dell’uscita. L’area nera poco interessante è l’insieme di Mandelbrot vero e proprio. Contiene tutti i valori di c per cui |zₙ| non è mai diventato maggiore di 2. Quest’area è impossibile da calcolare con esattezza, quindi il programma colora di nero tutti i pixel per cui |zₙ| non supera 2 per un dato numero di iterazioni, ad esempio 256. L’insieme di Mandelbrot cubico è prodotto da zₙ₊₁ = zₙ³ + c. L’insieme di Mandelbrot quartico è prodotto da zₙ₊₁ = zₙ⁴ + c.
Insiemi di Julia
Uno dei tipi di frattali più basilari è la famiglia degli insiemi di Julia, scoperta dal matematico francese Gaston Julia durante la Prima guerra mondiale. Gli insiemi di Julia nascono da una formula semplice con un parametro complesso chiamato C o seme. Questo parametro si può variare per creare molte varianti. Anche gli insiemi di Julia sono auto-simili.
Insiemi di Newton
Questo frattale nasce dal tentativo di risolvere l’equazione z³ = 1 con il metodo di Newton–Raphson, dove z è un numero complesso: z = x + iy. Si definisce p(z) = z³ − 1 e la si usa in una formula iterativa che dovrebbe convergere a zero, trovando così una soluzione della prima equazione. Una generalizzazione dell’iterazione di Newton è zₙ₊₁ = zₙ − a · p(zₙ) / p'(zₙ), dove a è un numero complesso qualsiasi e p'(z) è la derivata di p(z). La scelta a = 1 corrisponde al frattale di Newton. La formula viene applicata a ogni punto del piano complesso e colorata in base a quante iterazioni servono perché p(z) converga (approssimativamente) a zero. Le regioni noiose del frattale sono in realtà soluzioni dell’equazione originale.
Newton⁴
Il frattale di Newton standard usa p(z) = z³ − 1, con tre radici. Newton⁴ usa p(z) = z⁴ − 1, con quattro radici: le radici quarte dell’unità (±1 e ±i). Entrambi applicano il metodo di Newton zₙ₊₁ = zₙ − p(zₙ) / p'(zₙ) sul piano complesso e colorano ogni punto di partenza in base alla radice verso cui converge. Per z³ − 1 l’aggiornamento è zₙ₊₁ = zₙ − (zₙ³ − 1) / (3 zₙ²). Per z⁴ − 1 è zₙ₊₁ = zₙ − (zₙ⁴ − 1) / (4 zₙ³). L’immagine ha simmetria rotazionale di ordine 4 invece della simmetria ternaria del frattale di Newton cubico. I quattro bacini di attrazione — intorno a 1, −1, i e −i — si incontrano in un merletto di confini frattali. Prova Newton⁴ accanto a Newton in Fractal Generator.
Frattali Nova
Un frattale Nova è il metodo di Newton–Raphson con una costante complessa c aggiunta a ogni passo. L’aggiornamento generale è zₙ₊₁ = zₙ − R · f(zₙ)/f'(zₙ) + c. La Nova di tipo Mandelbrot predefinita in PictorX usa f(z) = z² − 2 + 0.2i (quindi f'(z) = 2z), rilassamento complesso R = 1 + i e valore iniziale z₀ = c (il pixel sul piano). Ogni pixel è colorato in base a quante iterazioni servono perché z converga (|Δz| < 10⁻⁴), non per fuga all’infinito come in Mandelbrot o Julia. Una R complessa torce i bacini in spirali asimmetriche—prova a regolare R e la costante additiva di f in Fractal Generator.
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