M.C. エッシャーについて | テッセレーション、メタモルフォーゼ、無限

平面の規則的分割

平面の規則的分割——テッセレーションやモザイクタイルとも呼ばれます——は、M.C. エッシャーの作品でもっとも認識しやすく、数学的な側面の一つです。隙間も重なりもなく、辺と辺で接する繰り返しの図形で平面を完全に埋める芸術です。数学者が三角形・正方形・六角形といった抽象形にとどまることが多かったのに対し、エッシャーはその格子を魚、鳥、トカゲ、騎手といった具象モチーフに変えました。

アルハンブラに始まる起源

エッシャーは早い段階から模様を試していましたが、転機となったのは1922年と1936年、スペイン・グラナダのアルハンブラ訪問のあとでした。ムーア風のモザイクに深く心を打たれました。イスラムの伝統のため、職人たちは厳密に抽象的・幾何学的な装飾にとどまっていました。エッシャーはその抽象を魂の欠如と呼び、同じ数学的完成度を生きた生き物で実現することを生涯の目標としました。それを最大の情熱と呼び、何十年も立ち返りました。

平行移動、回転、反射

エッシャーは訓練を受けた数学者ではありませんでしたが、平面を分割する直感的な体系を築きました。三つの基本的な幾何変換が指針でした。平行移動：形をずらし、一方の凹みが次の凸になります。回転：図形が共有点のまわりで回ります——古典例は、頭や足が中心で出会う三匹のトカゲです。反射：図形が軸で鏡映され、しばしば滑走と組み合わされ、鳥が左右交互に飛びます。彼はノートにこれらの体系を丹念に整理し、後の数学者は対称群が形式的分類と驚くほど一致することに驚きました。

メタモルフォーゼと無限

エッシャーはめったに模様を静止した壁紙のままにしませんでした。テッセレーションを二つの哲学的考えに結びつけました。メタモルフォーゼ：Metamorphosis II（1940）などの傑作では、抽象的なチェス盤がゆっくりトカゲになり、六角形、蜂、蝶、鳥、再び抽象形へと変わる——絶え間ない変化の視覚物語です。無限の極限：平らな紙では模様は端で止まります。数学者 H.S.M. Coxeter に触発され、双曲的な Circle Limit 版画を作り、魚や天使と悪魔が縁へ向かって小さくなり、理論上は円の中に無限個の図形が収まります。

M.C. Escher, Metamorphosis II (1940) — Metamorphosis II (1940)

図と地

エッシャーの分割をこれほど引きつけるのは双対性です。脳はふつう図と地を同時に保てません。白い鳥に焦点を当てると黒い鳥は余白になり、まばたきすると黒い鳥も同じく完璧な図形だとわかります。エッシャーは主題と背景の境界を消しました。

PictorX で M.C. Escher を試す

PictorX で /mc-escher を開き、ブラウザでトカゲ、Pegasus、騎手、白鳥、力士、トビウオ、鳥のモチーフをタイル張りできます。尺度、色、輪郭、滑らかな曲線、丸い接合、目を調整し、構図をランダム化し、PNG を保存するかエディタへ渡せます。PictorX サーバーには何もアップロードされず——キャンバスは端末に留まります。