О М.К. Эшере | Тесселяция, метаморфоза и бесконечность

Регулярное разбиение плоскости

Регулярное разбиение плоскости—также называемое тесселяцией или мозаичной укладкой—одна из самых узнаваемых и математических сторон творчества М.К. Эшера. Это искусство полностью заполнять плоскую поверхность повторяющимися фигурами, стыкующимися край к краю, без пробелов и без наложений. Там, где математики обычно оставались при абстрактных формах вроде треугольников, квадратов или шестиугольников, Эшер превратил эти решётки в фигуративные мотивы: рыб, птиц, ящериц и всадников.

Истоки в Альгамбре

Эшер рано экспериментировал с узорами, но настоящий перелом наступил после посещений Альгамбры в Гранаде (Испания) в 1922 и 1936 годах. Мавританские мозаики глубоко поразили его. Из-за исламской традиции те мастера оставались при строго абстрактном геометрическом орнаменте. Эшер назвал эту абстракцию бездушием и поставил себе жизненную цель: та же математическая совершенность, но с живыми существами. Он назвал это своей величайшей страстью и возвращался к ней десятилетиями.

Перенос, поворот, отражение

Эшер не был профессиональным математиком, но построил интуитивную систему разбиения плоскости. Им руководили три основных геометрических преобразования. Перенос: фигура сдвигается так, что выемка с одной стороны становится выпуклостью следующей. Поворот: фигуры вращаются вокруг общей точки—классические примеры: три ящерицы, чьи головы или лапы сходятся в центре. Отражение: фигуры зеркально отражаются относительно оси, часто в сочетании со скольжением, так что птицы летят попеременно влево и вправо. Он тщательно каталогизировал эти системы в тетрадях; позже математики поражались, насколько хорошо его группы симметрии совпадали с формальной классификацией.

Перенос, поворот и отражение в тесселяции

Метаморфоза и бесконечность

Эшер редко оставлял узор статичными обоями. Он связал тесселяцию с двумя философскими идеями. Метаморфоза: в шедеврах вроде Metamorphosis II (1940) абстрактная шахматная доска медленно становится ящерицами, затем шестиугольниками, пчёлами, бабочками, птицами и снова абстрактными формами—визуальная история непрерывного изменения. Предел бесконечности: на плоской бумаге узор обрывается у края. Вдохновлённый математиком H.S.M. Coxeter, он создал гиперболические оттиски Circle Limit, где рыбы или ангелы и демоны сжимаются к ободу так, что теоретически в круг вмещается бесконечно много фигур.

M.C. Escher, Metamorphosis II (1940) — Metamorphosis II (1940)

Фигура и фон

Что делает разбиения Эшера столь захватывающими — это двойственность. Мозг обычно не может удерживать фигуру и фон одновременно. Сосредоточьтесь на белых птицах — и чёрные станут остаточным пространством; моргните — и чёрные птицы окажутся столь же совершенными фигурами. Эшер стёр границу между сюжетом и фоном.

Попробуйте M.C. Escher в PictorX

Откройте /mc-escher в PictorX, чтобы выкладывать в браузере мотивы ящериц, Pegasus, всадников, лебедей, силачей, летучих рыб и птиц. Настройте масштаб, цвета, контуры, плавные кривые, скруглённые стыки и глаза; рандомизируйте композицию; затем сохраните PNG или передайте в редактор. На серверы PictorX ничего не загружается—холст остаётся на вашем устройстве.

Часто задаваемые вопросы

Что такое тесселяция?

Тесселяция (регулярное разбиение плоскости) покрывает поверхность повторяющимися формами, стыкующимися без пробелов и наложений. Эшер специализировался на фигуративных тесселяциях—животных и людях вместо одних многоугольников.

Как Альгамбра повлияла на Эшера?

Посещения мавританских мозаик Альгамбры показали Эшеру, как может выглядеть строгая геометрическая укладка. Он сохранил математическую дисциплину, но заменил абстрактный орнамент живыми мотивами.

Какие преобразования использовал Эшер?

В основном перенос (сдвиг), поворот (вращение вокруг точки) и отражение (включая скользящее отражение). Он упорядочивал узоры по симметрии задолго до того, как многие художники заговорили этими терминами.

Загружает ли PictorX мой холст Escher?

Нет. M.C. Escher работает в браузере; ничего из того, что вы создаёте, не загружается на серверы PictorX. Экспортируйте PNG, когда нужен файл на устройстве.

Как эта страница связана с приложением M.C. Escher?

Эта страница — предыстория: тесселяция, Альгамбра, метаморфоза и бесконечность. M.C. Escher — интерактивный инструмент PictorX, где вы сами можете создавать мозаичные мотивы.