二重振り子について | カオスと光の軌跡

二重振り子とは？

固定支点に一本の振り子を吊るし、その端にもう一本を吊るします。これで二つの角度—通常 θ₁ と θ₂—があり、角速度を含めると自由度は四つです。重力が両方のおもりを引き、関節が運動を結合してエネルギーが上腕と下腕の間を行き来します。

運動がカオスになる理由

小さな振りでは二重振り子はほぼ規則的に見えます。エネルギーを上げると、初期角度や速度のわずかな差が育ち、ほぼ同じ二つの開始がまったく異なる軌跡を描きます。初期条件へのこの敏感な依存が決定論的カオスの特徴です：規則は厳密でも、長期予測は事実上不可能です。

方程式の要点

標準モデルは長さ L₁、L₂ と質量 m₁、m₂ のラグランジュ力学を使います。θ₁ と θ₂ の常微分方程式は非線形で結合しており、閉形式で解くのではなく数値積分（例：RK4）します。長さや質量を変えると軌跡の一族全体がずれます。

光の軌跡と長時間露光

写真家は物理的な二重振り子に LED を付け、シャッターを開けて光るリボンを捉えます。デジタルでは先端位置を数千ステップにわたってサンプリングし、キャンバスに描きます。トレイルをフェードさせてネオン筋に、全サンプルを残して密な長時間露光レースに、あるいは背景を経路に沿って歪ませて歪みアートにできます。

二重振り子とペインティング振り子

ペインティング（ブラックバーン）振り子は二つの調和振動子を組み合わせ、リサジュー図形を描きます—周波数比が有理なら整ったループです。二重振り子は一本の機械連鎖で、非線形結合がカオスを生みます。どちらも美しい軌跡を作りますが、数学と曲線の見た目は異なります。

PictorX で Double Pendulum を試す

ブラウザで先端をシミュレートするには /double-pendulum を開きます。長さ・質量・重力・減衰を調整し、トレイル・長時間露光・歪みモードを選び、色とスタイルを設定してから PNG を保存するかエディタで開きます。アップロードはありません。Painting Pendulum、Lorenz Attractor、Spirograph と組み合わせてさらに生成遊びを。