Das Ziegenproblem
Hinter einer von drei Türen steht ein Auto, hinter den beiden anderen Ziegen. Sie wählen eine Tür. Der Moderator, der weiß, wo das Auto ist, öffnet eine andere Tür und zeigt eine Ziege. Sollten Sie zur letzten geschlossenen Tür wechseln? Die meisten Menschen sagen, das sei egal. Ist es nicht: Wechseln verdoppelt Ihre Gewinnchance von 1/3 auf 2/3. Klicken Sie auf eine Tür. Monty, der weiß, wo das Auto steht, öffnet eine andere Tür mit einer Ziege. Dann bleiben Sie bei Ihrer Tür oder wechseln zu der, die er geschlossen gelassen hat. Wechseln gewinnt in zwei von drei Fällen. Drücken Sie auf Automatisch spielen, damit der Computer 1.000 Spiele spielt, und sehen Sie zu, wie sich die Gewinnquoten bei 1/3 und 2/3 einpendeln.
Wie es funktioniert
- Klicken Sie auf eine Tür. Monty öffnet eine andere Tür, hinter der eine Ziege steht.
- Bleiben Sie bei Ihrer Tür oder wechseln Sie zur anderen geschlossenen Tür, und sehen Sie, was Sie gewonnen haben.
- Drücken Sie auf Automatisch spielen, um 1.000 Spiele laufen zu lassen, und sehen Sie zu, wie sich die Gewinnquoten bei 1/3 fürs Bleiben und 2/3 fürs Wechseln einpendeln.
Warum Wechseln gewinnt
Ihre erste Wahl ist mit Wahrscheinlichkeit 1/3 richtig, und dann verliert Wechseln. Mit Wahrscheinlichkeit 2/3 ist sie falsch, und dann steht das Auto hinter einer der beiden anderen Türen. Monty muss die mit der Ziege öffnen, also verbirgt die Tür, die er geschlossen lässt, das Auto. Wechseln gewinnt genau dann, wenn Ihre erste Wahl falsch war: in zwei von drei Fällen.
Die Version mit hundert Türen
Stellen Sie sich 100 Türen vor. Sie wählen eine, und Monty öffnet 98 der anderen, alle mit Ziegen, und lässt eine geschlossen. Würden Sie bei Ihrem ersten Tipp bleiben, der nur in einem von 100 Fällen stimmt? Wechseln gewinnt jetzt 99-mal von 100. Bei drei Türen ergibt dieselbe Überlegung 2/3. Probieren Sie beides mit der Einstellung Türen aus.
Es kommt darauf an, was Monty weiß
Die Überlegung braucht einen Moderator, der weiß, wo das Auto ist, und immer eine Tür mit einer Ziege öffnet. Öffnet Monty eine der anderen Türen zufällig, zeigt er manchmal das Auto, und das Spiel ist verdorben. In den Spielen, in denen er zufällig eine Ziege zeigt, gewinnen Bleiben und Wechseln beide in der Hälfte der Fälle. Wählen Sie „Monty vergisst, wo das Auto ist“, und sehen Sie zu, wie sich beide Balken bei 50 % einpendeln.
Ein Rätsel, das Mathematiker hereinlegte
Das Rätsel heißt auch Monty-Hall-Problem, nach dem Moderator der amerikanischen Spielshow Let's Make a Deal. Berühmt wurde es 1990, als Marilyn vos Savant es in der Zeitschrift Parade beantwortete: wechseln. Tausende Leser schrieben ihr, sie liege falsch, viele davon mit Doktortitel. Selbst Paul Erdős, einer der produktivsten Mathematiker des Jahrhunderts, war erst überzeugt, als er eine Computersimulation sah.
Häufig gestellte Fragen
Sollten Sie beim Ziegenproblem wechseln?
Ja. Wechseln gewinnt mit Wahrscheinlichkeit 2/3 und Bleiben mit 1/3, solange der Moderator weiß, wo das Auto ist, und immer eine Tür mit einer Ziege öffnet.
Warum ist es nicht 50:50, wenn eine Tür geöffnet ist?
Weil die Wahl des Moderators nicht zufällig ist: Er öffnet nie Ihre Tür und nie die mit dem Auto. Wenn Ihre erste Wahl eine Ziege ist, was in 2/3 der Fälle passiert, muss er die Tür mit dem Auto geschlossen lassen. Die beiden geschlossenen Türen sind nicht gleich wahrscheinlich.
Was passiert, wenn Monty nicht weiß, wo das Auto ist?
Dann öffnet er manchmal versehentlich die Tür mit dem Auto. In den Spielen, in denen er zufällig eine Ziege aufdeckt, gewinnen Bleiben und Wechseln jeweils in der Hälfte der Fälle. Probieren Sie „Öffnet Türen zufällig“ aus.
Wie viele Spiele braucht es, bis man die 2/3 sieht?
Nach 100 Spielen können die Gewinnquoten noch zehn oder mehr Prozentpunkte danebenliegen. Nach 1.000 Spielen liegen sie meist höchstens etwa vier Punkte von 1/3 und 2/3 entfernt, nach 10.000 Spielen ein oder zwei.
Wird dabei etwas hochgeladen?
Nein. Alles wird in Ihrem Browser berechnet und auf einer Leinwand gezeichnet. Speichern lädt ein PNG herunter. Bearbeiten öffnet das Bild im PictorX-Editor.
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Das Ziegenproblem
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