Das Geburtstagsparadoxon
Wie viele Menschen müssen in einem Raum sein, damit zwei von ihnen wahrscheinlich am selben Tag Geburtstag haben? Die meisten schätzen etwa 180. Die Antwort lautet nur 23: Dann liegt die Wahrscheinlichkeit bei 50,7 %, und bei 57 Personen sind es schon 99 %. Das fühlt sich falsch an, weil wir an unseren eigenen Geburtstag denken, während es beim Paradoxon um jedes Paar im Raum geht. In einer Gruppe von nur 23 Personen liegt die Wahrscheinlichkeit, dass zwei von ihnen am selben Tag Geburtstag haben, bei 50,7 %. Das klingt viel zu hoch, weil wir an unseren eigenen Geburtstag denken: Die Wahrscheinlichkeit, dass jemand Ihren Geburtstag teilt, beträgt nur 6 %. Aber 23 Personen bilden 253 Paare, und jedes Paar könnte gemeinsam Geburtstag haben. Klicken Sie für eine neue Gruppe und sehen Sie zu, wie sich die Paare häufen, fügen Sie Personen einzeln hinzu, oder testen Sie 1.000 Gruppen und alle Gruppengrößen, um die Kurve steigen zu sehen.
Wie es funktioniert
- Klicken Sie auf die Leinwand für eine neue Gruppe von 23 Personen. Sie kommen nacheinander hinzu, und für jedes neue Paar erscheint eine Linie.
- Beobachten Sie den Kalender: Ein Tag mit zwei Geburtstagen leuchtet auf, und die Meldung nennt den gemeinsamen Geburtstag.
- Drücken Sie auf Automatisch testen für 1.000 Gruppen oder auf Alle Gruppengrößen testen, um zu sehen, wie die Wahrscheinlichkeit von 2 bis 100 Personen steigt.
Warum unsere Intuition versagt
In einem Raum denken wir unbewusst von uns selbst aus: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass jemand am selben Tag Geburtstag hat wie ich? Bei 365 Tagen ist diese Wahrscheinlichkeit klein, etwa 6 % bei 22 anderen. Das Paradoxon fragt aber, ob irgendwelche zwei Personen am selben Tag Geburtstag haben: A und B, B und C, A und C und so weiter. Dreiundzwanzig Personen bilden 23 × 22 / 2 = 253 Paare, und jedes davon ist eine Chance auf einen Treffer. Die Zahl der Paare wächst mit dem Quadrat der Gruppengröße, deshalb schießt die Wahrscheinlichkeit nach oben.
Die Rechnung
Am einfachsten berechnet man die Wahrscheinlichkeit, dass alle an verschiedenen Tagen Geburtstag haben, und zieht sie von 100 % ab. Die erste Person belegt einen beliebigen Tag. Die zweite hat mit Wahrscheinlichkeit 364/365 einen anderen Tag, die dritte vermeidet mit Wahrscheinlichkeit 363/365 die ersten beiden, und so weiter. Für 23 Personen: 365/365 × 364/365 × 363/365 × … × 343/365 ≈ 49,3 %. Die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen gemeinsamen Geburtstag ist dann 100 % − 49,3 % = 50,7 %.
Jemand mit Ihrem Geburtstag
Die Wahrscheinlichkeit, dass jemand in der Gruppe Ihren eigenen Geburtstag teilt, wächst viel langsamer: 1 − (364/365)ⁿ⁻¹, denn nur n − 1 der Paare schließen Sie ein. Bei 23 Personen sind es 5,9 %, und Sie brauchen 253 andere, um 50 % zu überschreiten. Stellen Sie die Frage auf „Jemand hat am selben Tag Geburtstag wie Sie“ um, um beide Kurven zu vergleichen.
Geburtstagsangriffe in der Kryptografie
Das Paradoxon ist mehr als ein Partytrick. In der Computersicherheit ist es die Grundlage des Geburtstagsangriffs: Um zwei Eingaben mit demselben Hashwert zu finden, also eine Kollision, braucht ein Angreifer weit weniger Versuche, als man erwarten würde. Bei einer Hashfunktion mit N möglichen Werten wird eine Kollision schon nach ungefähr √N Versuchen wahrscheinlich, nicht erst nach N. Deshalb brauchen Hashfunktionen und digitale Signaturen so lange Ausgaben, dass selbst √N Versuche unerreichbar sind: Bei einem 128-Bit-Hash erfordert eine Kollision etwa 2⁶⁴ Versuche.
Häufig gestellte Fragen
Wie viele Personen braucht man, damit die Wahrscheinlichkeit eines gemeinsamen Geburtstags 50 % erreicht?
23. Dann liegt die Wahrscheinlichkeit bei 50,7 %. Bei 30 Personen sind es 70,6 %, bei 41 Personen 90,3 %, bei 57 Personen 99,0 % und bei 70 Personen 99,9 %.
Warum heißt es Paradoxon?
Es ist kein Widerspruch, nur eine Überraschung: Die Antwort widerspricht der Intuition. Die meisten schätzen, dass man etwa die Hälfte von 365 braucht, also rund 180 Personen, weil sie alle mit sich selbst vergleichen statt miteinander.
Was ist mit dem 29. Februar und echten Geburtstagen?
Die App geht wie das klassische Problem von 365 gleich wahrscheinlichen Tagen aus. Echte Geburtstage sind nicht ganz gleichmäßig über das Jahr verteilt, und eine ungleichmäßige Verteilung macht einen gemeinsamen Geburtstag etwas wahrscheinlicher, nicht unwahrscheinlicher.
Wann ist ein gemeinsamer Geburtstag sicher?
Bei 366 Personen: Es gibt nur 365 Tage, also müssen nach dem Schubfachprinzip mindestens zwei von 366 Personen am selben Tag Geburtstag haben. Lange vorher ist es praktisch sicher: Bei 100 Personen liegt die Wahrscheinlichkeit bei 99,99997 %.
Wird dabei etwas hochgeladen?
Nein. Alles wird in Ihrem Browser berechnet und auf einer Leinwand gezeichnet. Speichern lädt ein PNG herunter. Bearbeiten öffnet das Bild im PictorX-Editor.
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Das Geburtstagsparadoxon
Das Geburtstagsparadoxon erklärt: warum 23 Personen eine Wahrscheinlichkeit von 50,7 % für einen gemeinsamen Geburtstag ergeben, die 253 Paare, die Rechnung Schritt für Schritt, jemand mit Ihrem Geburtstag, die Wurzelregel und Geburtstagsangriffe auf Hashfunktionen.
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