Würfeln
Werfen Sie einen Würfel einmal, und alles von 1 bis 6 kann passieren. Werfen Sie ihn tausendmal, und ein Muster zeigt sich: Jede Augenzahl kommt in etwa 1/6 der Würfe. Mit zwei Würfeln sind die Summen überhaupt nicht gleich wahrscheinlich: 7 kommt sechsmal so oft wie 2 oder 12. Würfeln Sie, und sehen Sie zu, wie die Balken auf die erwarteten Häufigkeiten zuwachsen. Klicken Sie auf Würfeln, um die Würfel immer wieder zu werfen, und sehen Sie zu, wie die Balken wachsen. Die gestrichelten Umrisse zeigen, wie oft jede Augenzahl oder Summe kommen sollte. Mit zwei Würfeln ist 7 die häufigste Augensumme: Sechs der 36 Möglichkeiten, wie die Würfel fallen können, ergeben 7. Klicken Sie auf die Würfel, um einmal zu würfeln.
Wie es funktioniert
- Wählen Sie einen, zwei oder drei Würfel und klicken Sie auf Würfeln. Die Würfel rollen, und der Balken jedes Ergebnisses wächst.
- Vergleichen Sie jeden Balken mit seinem gestrichelten Umriss: der erwarteten Anzahl Würfe bei fairen Würfeln.
- Probieren Sie einen gezinkten Würfel, fünf Würfel für eine Glockenkurve oder 10.000 Würfe, und lesen Sie den Chi-Quadrat-Test ab.
Ein Würfel: ein flaches Diagramm
Ein fairer Würfel hat sechs Seiten, und jede kommt mit der Wahrscheinlichkeit 1/6. Nach 60 Würfen erwarten Sie jede Augenzahl 10-mal, doch genau 10 sehen Sie selten: 6 oder 14 sind völlig normal. Nach 1.000 Würfen wird jede Augenzahl etwa 167-mal erwartet, und im Verhältnis sehen die Balken viel flacher aus. Die Abweichungen wachsen absolut, schrumpfen aber als Anteil an den Würfen: Das ist das Gesetz der großen Zahlen.
Zwei Würfel: Warum die 7 gewinnt
Zwei Würfel können auf 6 × 6 = 36 gleich wahrscheinliche Arten fallen. Nur eine davon ergibt 2 (1 + 1) und eine 12 (6 + 6), aber sechs ergeben 7: 1 + 6, 2 + 5, 3 + 4, 4 + 3, 5 + 2 und 6 + 1. Also hat 7 die Wahrscheinlichkeit 6/36 = 1/6 und 2 nur 1/36. Die Brüche unter den Balken zählen diese Möglichkeiten, und das Diagramm wird zu einem Dreieck.
Drei oder mehr Würfel: die Glockenkurve
Mit drei Würfeln gibt es 216 Möglichkeiten, und die Summen 10 und 11 sind am wahrscheinlichsten, mit je 27 Möglichkeiten. Nehmen Sie mehr Würfel, und das Diagramm wird zur Glockenkurve: Der zentrale Grenzwertsatz besagt, dass eine Summe vieler unabhängiger Zufallszahlen annähernd normalverteilt ist.
Ist der Würfel fair? Der Chi-Quadrat-Test
Wie weit dürfen die Balken von den Umrissen abweichen, bevor Sie den Würfeln misstrauen? Der Chi-Quadrat-Test addiert (beobachtet − erwartet)² / erwartet über alle Balken. Sind die Würfel fair, tritt ein mindestens so großer Wert wie der gemessene mit der Wahrscheinlichkeit p auf. Ein p unter 0,05 ist ein Warnsignal. Wählen Sie den gezinkten Würfel, dessen Sechs doppelt so oft kommt wie jede andere Augenzahl, und nach einigen hundert Würfen ertappt ihn der Test.
Häufig gestellte Fragen
Welche Augensumme ist mit zwei Würfeln am häufigsten?
7. Sechs der 36 gleich wahrscheinlichen Möglichkeiten ergeben zusammen 7, also ist ihre Wahrscheinlichkeit 1/6. Die Summen 2 und 12 lassen sich jeweils nur auf eine Art erreichen: 1/36.
Wenn ich 600-mal würfle, kommt dann jede Zahl 100-mal?
Im Mittel ja, aber selten genau. Eine Streuung von etwa 9 nach oben oder unten ist normal. Der Anteil jeder Augenzahl kommt 1/6 umso näher, je öfter Sie würfeln.
Warum sieht das Diagramm mit vielen Würfeln wie eine Glocke aus?
Wegen des zentralen Grenzwertsatzes: Die Summe vieler unabhängiger Zufallszahlen ist annähernd normalverteilt. Mittlere Summen lassen sich auf weit mehr Arten erreichen als extreme.
Woran erkenne ich, ob ein Würfel gezinkt ist?
Werfen Sie ihn viele Male und vergleichen Sie die Anzahlen mit jeweils 1/6. Der Chi-Quadrat-Test in der App macht aus den Abweichungen einen p-Wert; ein p-Wert unter 0,05 nach vielen Würfen bedeutet, dass der Würfel wahrscheinlich nicht fair ist.
Wird dabei etwas hochgeladen?
Nein. Alles wird in Ihrem Browser berechnet und auf einer Leinwand gezeichnet. Speichern lädt ein PNG herunter. Bearbeiten öffnet das Bild im PictorX-Editor.
Verwandte Tools
Wahrscheinlichkeit beim Würfeln
Wahrscheinlichkeit beim Würfeln einfach erklärt: warum jede Augenzahl die Chance 1/6 hat, wie man die Möglichkeiten für eine Augensumme zählt, erwartete und beobachtete Häufigkeiten, die Glockenkurve vieler Würfel und der Chi-Quadrat-Test für einen fairen Würfel.
Murmeln aus einer Vase
Ziehen Sie Murmeln aus einer Vase, ohne hinzusehen und ohne sie zurückzulegen. Verfolgen Sie jede Ziehung im Baumdiagramm: 5/9 × 4/8 = 5/18 für zwei rote Murmeln. Lassen Sie dann den Computer 1.000 Runden ziehen.
Galtonbrett
Lassen Sie Kugeln durch Reihen von Nägeln fallen und sehen Sie zu, wie eine Glockenkurve die Fächer füllt. Ändern Sie Reihen, Neigung und Zahl der Kugeln, und vergleichen Sie Mittelwert und Streuung mit der Theorie.
Spielerfehlschluss
Werfen Sie eine faire Münze 100-mal pro Sekunde und sehen Sie, was nach jeder Serie von 5 oder 8 Mal Kopf in Folge kommt. Es bleibt 50/50: Die Münze hat kein Gedächtnis.
Monte-Carlo-π
Werfen Sie Tausende zufälliger Pfeile auf ein Quadrat mit einem Kreis darin und sehen Sie zu, wie der Anteil im Kreis zu π wird. Starten, stoppen und verfolgen Sie, wie die Schätzung konvergiert.
Das Ziegenproblem
Das Ziegenproblem zum Ausprobieren: Wählen Sie eine von drei Türen, sehen Sie zu, wie Monty eine Tür mit einer Ziege öffnet, und bleiben oder wechseln Sie dann. Spielen Sie selbst oder lassen Sie den Computer 1.000 Spiele spielen: Wechseln gewinnt in zwei von drei Fällen.
Yahtzee
Spiele Yahtzee kostenlos im Browser. Wirf fünf Würfel bis zu dreimal, halte die passenden und fülle 13 Felder. Allein, mit bis zu 4 Spielern oder gegen den Computer.
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