O problema de Monty Hall
Atrás de uma de três portas está um carro; atrás das outras duas, cabras. Escolha uma porta. O apresentador, que sabe onde está o carro, abre outra porta e mostra uma cabra. Deve trocar para a última porta fechada? A maioria das pessoas diz que é indiferente. Não é: trocar duplica a sua probabilidade de ganhar, de 1/3 para 2/3. Clique numa porta. Monty, que sabe onde está o carro, abre outra porta com uma cabra. Depois, mantenha a sua porta ou troque para a que ele deixou fechada. Trocar ganha duas vezes em cada três. Prima Jogar automaticamente para o computador jogar 1000 partidas e veja as taxas de vitória estabilizarem em 1/3 e 2/3.
Como funciona
- Clique numa porta. Monty abre outra porta com uma cabra atrás.
- Mantenha a sua porta ou troque para a outra porta fechada, e veja o que ganhou.
- Prima Jogar automaticamente para jogar 1000 partidas e veja as taxas de vitória estabilizarem em 1/3 ao manter e em 2/3 ao trocar.
Porque é que trocar ganha
A sua primeira escolha está certa com probabilidade 1/3, e nesse caso trocar perde. Está errada com probabilidade 2/3, e então o carro está atrás de uma das outras duas portas. Monty tem de abrir a da cabra, por isso a porta que ele deixa fechada esconde o carro. Trocar ganha exatamente quando a primeira escolha estava errada: duas vezes em cada três.
A versão com cem portas
Imagine 100 portas. Escolhe uma, e Monty abre 98 das outras, todas com cabras, deixando uma fechada. Manteria a sua primeira escolha, que tinha uma probabilidade em 100? Agora trocar ganha 99 vezes em 100. Com três portas, o mesmo raciocínio dá 2/3. Experimente os dois casos com a opção Portas.
Depende do que Monty sabe
O raciocínio precisa de um apresentador que saiba onde está o carro e abra sempre uma porta com uma cabra. Se Monty abrir ao acaso uma das outras portas, às vezes revela o carro e a partida fica estragada. Nas partidas em que ele mostra uma cabra por acaso, manter e trocar ganham cada um metade das vezes. Escolha «Monty esquece onde está o carro» e veja as duas barras estabilizarem em 50%.
Um enigma que enganou matemáticos
O enigma tem o nome de Monty Hall, apresentador do concurso televisivo americano Let's Make a Deal. Tornou-se famoso em 1990, quando Marilyn vos Savant lhe respondeu na revista Parade: trocar. Milhares de leitores escreveram a dizer que ela estava errada, muitos deles doutores. Até Paul Erdős, um dos matemáticos mais prolíficos do século, só se convenceu quando viu uma simulação em computador.
Perguntas frequentes
Vale a pena trocar no problema de Monty Hall?
Sim. Trocar ganha com probabilidade 2/3 e manter com 1/3, desde que o apresentador saiba onde está o carro e abra sempre uma porta com uma cabra.
Por que razão não fica 50/50 depois de se abrir uma porta?
Porque a escolha do apresentador não é aleatória: ele nunca abre a sua porta nem a do carro. Quando a sua primeira escolha é uma cabra, o que acontece 2/3 das vezes, ele é obrigado a deixar fechada a porta do carro. As duas portas fechadas não são igualmente prováveis.
O que acontece se Monty não souber onde está o carro?
Então, às vezes abre por acidente a porta do carro. Nas partidas em que por acaso revela uma cabra, manter e trocar ganham cada um metade das vezes. Experimente «Abre portas ao acaso».
Quantas partidas são precisas para ver os 2/3?
Depois de 100 partidas, as taxas de vitória ainda podem diferir dez ou mais pontos percentuais. Depois de 1000 partidas, ficam em geral a cerca de quatro pontos de 1/3 e 2/3, e depois de 10 000 partidas, a um ou dois.
Isto envia alguma coisa?
Não. Tudo é calculado e desenhado numa tela no seu navegador. Guardar transfere um PNG. Editar abre essa imagem no editor do PictorX.
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O problema de Monty Hall explicado: porque é que trocar ganha 2/3 das vezes, uma tabela com todos os casos, o teorema de Bayes, a versão com muitas portas, o apresentador que não sabe e a controvérsia de 1990.
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