Le problème de Monty Hall
Derrière l’une des trois portes se trouve une voiture, derrière les deux autres des chèvres. Vous choisissez une porte. Le présentateur, qui sait où est la voiture, ouvre une autre porte et montre une chèvre. Faut-il changer pour la dernière porte fermée ? La plupart des gens disent que cela ne change rien. Pourtant si : changer double vos chances de gagner, de 1/3 à 2/3. Cliquez sur une porte. Monty, qui sait où est la voiture, ouvre une autre porte avec une chèvre. Gardez ensuite votre porte ou changez pour celle qu’il a laissée fermée. Changer gagne deux fois sur trois. Appuyez sur Jouer automatiquement pour laisser l’ordinateur jouer 1 000 parties, et regardez les taux de victoire se stabiliser à 1/3 et 2/3.
Comment ça marche
- Cliquez sur une porte. Monty ouvre une autre porte, derrière laquelle se trouve une chèvre.
- Gardez votre porte ou changez pour l’autre porte fermée, et découvrez ce que vous avez gagné.
- Appuyez sur Jouer automatiquement pour lancer 1 000 parties, et regardez les taux de victoire se stabiliser à 1/3 en gardant et à 2/3 en changeant.
Pourquoi changer est gagnant
Votre premier choix est bon avec une probabilité de 1/3, et alors changer fait perdre. Il est mauvais avec une probabilité de 2/3, et alors la voiture se trouve derrière l’une des deux autres portes. Monty doit ouvrir celle qui cache la chèvre, donc la porte qu’il laisse fermée cache la voiture. Changer gagne exactement quand votre premier choix était mauvais : deux fois sur trois.
La version à cent portes
Imaginez 100 portes. Vous en choisissez une, et Monty ouvre 98 des autres, toutes avec des chèvres, en laissant une fermée. Garderiez-vous votre premier choix, qui n’avait qu’une chance sur 100 ? Changer gagne maintenant 99 fois sur 100. Avec trois portes, le même raisonnement donne 2/3. Essayez les deux avec le réglage Portes.
Tout dépend de ce que sait Monty
Le raisonnement suppose un présentateur qui sait où est la voiture et ouvre toujours une porte avec une chèvre. Si Monty ouvre l’une des autres portes au hasard, il révèle parfois la voiture et la partie est gâchée. Dans les parties où il montre par hasard une chèvre, garder et changer gagnent chacun une fois sur deux. Choisissez « Monty oublie où est la voiture » et regardez les deux barres se stabiliser à 50 %.
Une énigme qui a piégé des mathématiciens
L’énigme porte le nom de Monty Hall, animateur du jeu télévisé américain Let's Make a Deal. Elle est devenue célèbre en 1990, quand Marilyn vos Savant y a répondu dans le magazine Parade : changez. Des milliers de lecteurs lui ont écrit pour dire qu’elle se trompait, dont beaucoup de docteurs. Même Paul Erdős, l’un des mathématiciens les plus prolifiques du siècle, n’a été convaincu qu’en voyant une simulation informatique.
Questions fréquemment posées
Faut-il changer dans le problème de Monty Hall ?
Oui. Changer gagne avec une probabilité de 2/3 et garder avec 1/3, tant que le présentateur sait où est la voiture et ouvre toujours une porte avec une chèvre.
Pourquoi ce n’est pas 50/50 une fois une porte ouverte ?
Parce que le choix du présentateur n’est pas aléatoire : il n’ouvre jamais votre porte, ni jamais celle de la voiture. Quand votre premier choix est une chèvre, ce qui arrive 2/3 du temps, il est obligé de laisser fermée la porte de la voiture. Les deux portes fermées ne sont pas également probables.
Que se passe-t-il si Monty ne sait pas où est la voiture ?
Alors il ouvre parfois par accident la porte de la voiture. Dans les parties où il tombe par hasard sur une chèvre, garder et changer gagnent chacun une fois sur deux. Essayez « Ouvre des portes au hasard ».
Combien de parties faut-il pour voir apparaître les 2/3 ?
Après 100 parties, les taux de victoire peuvent encore s’écarter de dix points de pourcentage ou plus. Après 1 000 parties, ils sont en général à environ quatre points de 1/3 et 2/3, et après 10 000 parties à un ou deux points.
Est-ce que quelque chose est envoyé ?
Non. Tout est calculé et dessiné sur un canevas dans votre navigateur. Enregistrer télécharge un PNG. Modifier ouvre cette image dans l’éditeur PictorX.
Outils associés
Le problème de Monty Hall
Le problème de Monty Hall expliqué : pourquoi changer gagne 2/3 du temps, un tableau de tous les cas, le théorème de Bayes, la version à nombreuses portes, le présentateur qui ne sait pas, et la controverse de 1990.
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