Paradoks Monty’ego Halla
Za jednymi z trojga drzwi stoi samochód, za pozostałymi kozy. Wybierasz drzwi. Prowadzący, który wie, gdzie jest samochód, otwiera inne drzwi i pokazuje kozę. Czy warto zmienić wybór na ostatnie zamknięte drzwi? Większość ludzi mówi, że to bez znaczenia. A jednak ma znaczenie: zmiana podwaja szansę na wygraną, z 1/3 do 2/3. Kliknij drzwi. Monty, który wie, gdzie jest samochód, otwiera inne drzwi z kozą. Potem zostań przy swoich drzwiach albo zmień na te, które zostawił zamknięte. Zmiana wygrywa w dwóch przypadkach na trzy. Naciśnij Graj automatycznie, a komputer rozegra 1000 gier. Zobacz, jak odsetki wygranych ustalają się na 1/3 i 2/3.
Jak to działa
- Kliknij drzwi. Monty otwiera inne drzwi, za którymi stoi koza.
- Zostań przy swoich drzwiach albo zmień na drugie zamknięte drzwi i zobacz, co wygrywasz.
- Naciśnij Graj automatycznie, aby rozegrać 1000 gier, i patrz, jak odsetki wygranych ustalają się na 1/3 przy pozostaniu i 2/3 przy zmianie.
Dlaczego zmiana wygrywa
Twój pierwszy wybór jest trafny z prawdopodobieństwem 1/3 i wtedy zmiana przegrywa. Jest chybiony z prawdopodobieństwem 2/3 i wtedy samochód stoi za jednymi z dwojga pozostałych drzwi. Monty musi otworzyć te z kozą, więc drzwi, które zostawia zamknięte, kryją samochód. Zmiana wygrywa dokładnie wtedy, gdy pierwszy wybór był chybiony: w dwóch przypadkach na trzy.
Wersja ze stu drzwiami
Wyobraź sobie 100 drzwi. Wybierasz jedne, a Monty otwiera 98 spośród pozostałych, wszystkie z kozami, i zostawia jedne zamknięte. Czy warto trzymać się pierwszego wyboru, który miał szansę 1 na 100? Teraz zmiana wygrywa 99 razy na 100. Przy trojgu drzwiach to samo rozumowanie daje 2/3. Wypróbuj oba warianty ustawieniem Drzwi.
Wszystko zależy od tego, co wie Monty
Rozumowanie wymaga prowadzącego, który wie, gdzie jest samochód, i zawsze otwiera drzwi z kozą. Jeśli Monty otwiera jedne z pozostałych drzwi losowo, czasem odsłania samochód i gra jest zepsuta. W grach, w których przypadkiem pokaże kozę, pozostanie i zmiana wygrywają w połowie przypadków. Wybierz „Monty zapomina, gdzie jest samochód”, i patrz, jak oba paski ustalają się na 50%.
Zagadka, która zwiodła matematyków
Zagadka nosi imię Monty’ego Halla, prowadzącego amerykański teleturniej Let's Make a Deal. Zasłynęła w 1990 roku, gdy Marilyn vos Savant odpowiedziała na nią w magazynie Parade: zmieniać. Tysiące czytelników napisało, że się myli, wielu z nich z doktoratem. Nawet Paul Erdős, jeden z najpłodniejszych matematyków stulecia, dał się przekonać dopiero wtedy, gdy zobaczył symulację komputerową.
Często zadawane pytania
Czy w paradoksie Monty’ego Halla warto zmienić drzwi?
Tak. Zmiana wygrywa z prawdopodobieństwem 2/3, a pozostanie z prawdopodobieństwem 1/3, o ile prowadzący wie, gdzie jest samochód, i zawsze otwiera drzwi z kozą.
Dlaczego po otwarciu drzwi szanse nie są 50/50?
Bo wybór prowadzącego nie jest losowy: nigdy nie otwiera twoich drzwi ani drzwi z samochodem. Gdy pierwszy wybór trafia na kozę, co zdarza się w 2/3 przypadków, musi zostawić drzwi z samochodem zamknięte. Dwoje zamkniętych drzwi nie jest jednakowo prawdopodobnych.
Co się dzieje, jeśli Monty nie wie, gdzie jest samochód?
Wtedy czasem przez przypadek otwiera drzwi z samochodem. W grach, w których akurat odsłoni kozę, pozostanie i zmiana wygrywają w połowie przypadków. Wypróbuj „Otwiera drzwi losowo”.
Ile gier trzeba rozegrać, żeby zobaczyć 2/3?
Po 100 grach odsetki wygranych mogą jeszcze odbiegać o dziesięć lub więcej punktów procentowych. Po 1000 gier zwykle różnią się od 1/3 i 2/3 najwyżej o około cztery punkty, a po 10 000 gier o jeden lub dwa.
Czy coś jest wysyłane?
Nie. Wszystko jest obliczane i rysowane na płótnie w przeglądarce. Przycisk Zapisz pobiera PNG. Edytuj otwiera ten obraz w edytorze PictorX.
Powiązane narzędzia
Paradoks Monty’ego Halla
Paradoks Monty’ego Halla wyjaśniony: dlaczego zmiana wygrywa w 2/3 przypadków, tabela wszystkich przypadków, twierdzenie Bayesa, wersja z wieloma drzwiami, prowadzący, który nie wie, i spór z 1990 roku.
Paradoks dnia urodzin
W grupie 23 osób prawdopodobieństwo, że dwie mają urodziny tego samego dnia, wynosi 50,7%, a przy 57 osobach – 99%. Zobacz wszystkie 253 pary, kalendarz i krzywą oraz przetestuj tysiące losowych grup w przeglądarce.
Kulki z wazonu
Losuj kulki z wazonu bez patrzenia i bez odkładania ich z powrotem. Śledź każde losowanie na drzewie stochastycznym: 5/9 × 4/8 = 5/18 dla dwóch czerwonych kulek. Potem pozwól komputerowi rozegrać 1000 rund.
Błąd hazardzisty
Rzucaj uczciwą monetą 100 razy na sekundę i zobacz, co wypada po każdej serii 5 lub 8 orłów z rzędu. Wciąż jest 50/50: moneta nie ma pamięci.
Liczenie kart Hi-Lo
Naucz się liczyć karty metodą Hi-Lo przy stole do blackjacka w przeglądarce: +1, 0 lub −1 za każdą kartę, running count, true count i stawka. Ćwicz liczenie, przelicz całą talię albo rozegraj milion rund.
Rzucanie kośćmi
Rzuć jedną, dwiema lub trzema kośćmi tysiąc razy i porównaj wykres słupkowy pokazujący, jak często wypadał każdy wynik, z oczekiwanymi częstościami. Zobacz, dlaczego 7 to najczęstsza suma.
π metodą Monte Carlo
Rzucaj tysiące losowych rzutek w kwadrat z wpisanym kołem i patrz, jak część, która trafia do środka, zamienia się w π. Uruchamiaj, zatrzymuj i śledź, jak oszacowanie zbiega.
Igła Buffona
Upuszczaj igły na podłogę w linie w przeglądarce. Policz przecięcia i zobacz, jak eksperyment Buffona z 1777 roku szacuje π.
Deska Galtona
Puść kule przez rzędy kołków i patrz, jak krzywa dzwonowa wypełnia przegródki. Zmień liczbę rzędów, przechył i liczbę kul, a potem porównaj średnią i rozrzut z teorią.
Chcesz wypróbować?
Otwórz PictorX w swojej przeglądarce — do uruchomienia nie jest wymagana żadna instalacja ani karta kredytowa.
Przejdź do edytora