몬티 홀 문제
세 문 중 하나 뒤에는 자동차가, 나머지 두 문 뒤에는 염소가 있습니다. 여러분이 문 하나를 고릅니다. 자동차가 어디 있는지 아는 진행자가 다른 문을 열어 염소를 보여 줍니다. 마지막으로 닫혀 있는 문으로 바꿔야 할까요? 대부분의 사람은 상관없다고 말합니다. 하지만 상관있습니다. 바꾸면 이길 확률이 1/3에서 2/3로 두 배가 됩니다. 문 하나를 클릭하세요. 자동차가 어디 있는지 아는 몬티가 염소가 있는 다른 문을 엽니다. 그다음 처음 고른 문을 유지하거나, 몬티가 닫아 둔 문으로 바꾸세요. 바꾸면 세 번에 두 번 이깁니다. 자동 플레이를 누르면 컴퓨터가 1,000게임을 하고, 승률이 1/3과 2/3에 자리 잡는 모습을 볼 수 있습니다.
작동 원리
- 문 하나를 클릭하세요. 몬티가 뒤에 염소가 있는 다른 문을 엽니다.
- 처음 문을 유지하거나 닫혀 있는 다른 문으로 바꾸고, 무엇을 얻었는지 확인하세요.
- 자동 플레이를 눌러 1,000게임을 돌리고, 승률이 유지할 때 1/3, 바꿀 때 2/3에 자리 잡는 모습을 보세요.
왜 바꾸면 이길까
처음 고른 문이 맞을 확률은 1/3이고, 그때는 바꾸면 집니다. 틀릴 확률은 2/3이고, 그때 자동차는 나머지 두 문 중 하나 뒤에 있습니다. 몬티는 염소가 있는 문을 열어야 하므로, 그가 닫아 둔 문 뒤에 자동차가 있습니다. 바꾸면 이기는 경우는 정확히 처음 선택이 틀렸을 때입니다. 즉 세 번에 두 번입니다.
문 100개 버전
문이 100개라고 상상해 보세요. 여러분이 하나를 고르면, 몬티가 나머지 중 98개를 엽니다. 모두 염소이고, 하나만 닫혀 있습니다. 100분의 1 확률이었던 처음 선택을 고수하시겠습니까? 이제 바꾸면 100번에 99번 이깁니다. 문이 세 개일 때는 같은 논리로 2/3이 나옵니다. 문 개수 설정으로 두 경우를 모두 해 보세요.
몬티가 무엇을 아는지에 달려 있다
이 논리는 자동차가 어디 있는지 알고 항상 염소가 있는 문을 여는 진행자가 있어야 성립합니다. 몬티가 나머지 문 중 하나를 무작위로 열면, 가끔 자동차가 드러나 게임이 망가집니다. 우연히 염소가 나온 게임에서는 유지와 바꾸기가 모두 절반의 확률로 이깁니다. '몬티가 자동차 위치를 잊음'을 선택하고 두 막대가 모두 50%에 자리 잡는 모습을 보세요.
수학자들도 속은 퍼즐
이 퍼즐은 미국 TV 게임 쇼 《Let's Make a Deal》의 진행자 몬티 홀의 이름을 땄습니다. 1990년 메릴린 보스 사반트가 잡지 《퍼레이드》에서 '바꿔야 한다'고 답하면서 유명해졌습니다. 수천 명의 독자가 그녀가 틀렸다는 편지를 보냈고, 그중 많은 이가 박사 학위를 가지고 있었습니다. 20세기에 가장 많은 논문을 남긴 수학자 중 한 명인 에르되시 팔조차 컴퓨터 시뮬레이션을 보고 나서야 납득했습니다.
자주 묻는 질문
몬티 홀 문제에서는 바꿔야 하나요?
네. 진행자가 자동차 위치를 알고 항상 염소가 있는 문을 연다면, 바꾸면 2/3, 유지하면 1/3의 확률로 이깁니다.
문 하나가 열린 뒤에 왜 50 대 50이 아닌가요?
진행자의 선택이 무작위가 아니기 때문입니다. 진행자는 여러분의 문도, 자동차가 있는 문도 절대 열지 않습니다. 처음 고른 문이 염소일 때(2/3의 확률로 일어납니다) 진행자는 자동차가 있는 문을 닫아 둘 수밖에 없습니다. 닫힌 두 문의 확률은 같지 않습니다.
몬티가 자동차 위치를 모르면 어떻게 되나요?
그러면 몬티는 가끔 실수로 자동차가 있는 문을 엽니다. 우연히 염소가 있는 문을 연 게임에서는 유지와 바꾸기가 각각 절반의 확률로 이깁니다. '무작위로 문을 엶'을 선택해 보세요.
2/3를 보려면 몇 게임이 필요한가요?
100게임 뒤에도 승률은 여전히 10%포인트 이상 벗어날 수 있습니다. 1,000게임 뒤에는 보통 1/3과 2/3에서 약 4%포인트 이내로, 10,000게임 뒤에는 1~2%포인트 이내로 들어옵니다.
무언가 업로드되나요?
아니요. 모든 것은 브라우저 안에서 계산되고 캔버스에 그려집니다. 저장은 PNG를 받습니다. 편집은 그 이미지를 PictorX 편집기에서 엽니다.
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브라우저에서 PictorX를 엽니다. 설치가 필요 없고 시작하는 데 신용 카드가 필요하지 않습니다.
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