Murmeln aus einer Vase

Wie es funktioniert

Klicken Sie auf die Vase: Eine Murmel kommt heraus und landet in der ersten Schale, und im Baumdiagramm leuchtet ihr Ast auf.
Klicken Sie erneut für die zweite Murmel, und lesen Sie ab, wie viele Murmeln jeder Farbe noch übrig waren und wie groß die Wahrscheinlichkeit für Rot zu diesem Zeitpunkt war.
Drücken Sie auf Automatisch ziehen, um 1.000 Runden zu ziehen, und sehen Sie zu, wie sich der Ja-Anteil bei 5/18 ≈ 27,8 % einpendelt.

Ohne Zurücklegen

Jede gezogene Murmel bleibt draußen. Die Vase wird kleiner und ihre Mischung ändert sich, also hängt die Wahrscheinlichkeit für die zweite Murmel von der ersten ab. Nach einer roten sind 4 der 8 übrigen Murmeln rot: 4/8. Nach einer blauen sind 5 der 8 rot: 5/8. Die Ziehungen sind abhängig, und die Wahrscheinlichkeit an jedem Ast des Baumdiagramms ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit: die Wahrscheinlichkeit für diese Farbe unter der Bedingung der bereits gezogenen Farben.

Entlang der Äste multiplizieren

Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades durch den Baum ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten an seinen Ästen: erst rot, dann rot ergibt 5/9 × 4/8 = 20/72. Das ist die Multiplikationsregel (1. Pfadregel): P(A und B) = P(A) × P(B gegeben A). Die vier Pfade rot-rot, rot-blau, blau-rot und blau-blau haben die Wahrscheinlichkeiten 20/72, 20/72, 20/72 und 12/72, und zusammen ergeben sie 72/72 = 1, denn einer von ihnen tritt immer ein.

Die passenden Pfade addieren

Eine Frage wie „Haben beide Murmeln dieselbe Farbe?“ wird von mehr als einem Pfad beantwortet: rot-rot und blau-blau. Ihre Wahrscheinlichkeiten werden addiert (2. Pfadregel): 20/72 + 12/72 = 32/72 = 4/9. Wenn die meisten Pfade zählen, geht es schneller, die übrigen abzuziehen: „Mindestens eine rote“ hat die Wahrscheinlichkeit 1 − 12/72 = 60/72 = 5/6. Die App zeigt die Rechnung für jede Frage.

Mit Zurücklegen

Legen Sie jede Murmel zurück, ist die Vase bei jeder Ziehung dieselbe: „Beide rot“ hat dann die Wahrscheinlichkeit 5/9 × 5/9 = 25/81 ≈ 30,9 %, etwas mehr als 27,8 %. Die Ziehungen sind unabhängig. Je größer die Vase, desto kleiner der Unterschied: Bei 10 roten und 10 blauen ist die Wahrscheinlichkeit für zwei rote ohne Zurücklegen 9/38 ≈ 23,7 % und mit Zurücklegen 25 %. In einer kleinen Vase mit 2 roten und 2 blauen ist der Unterschied groß: Die Wahrscheinlichkeit für zwei gleicher Farbe ist ohne Zurücklegen 1/3 und mit Zurücklegen 1/2.

Häufig gestellte Fragen

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, aus 5 roten und 4 blauen Murmeln zwei rote zu ziehen?

Ohne die erste zurückzulegen: 5/9 × 4/8 = 20/72 = 5/18, etwa 27,8 %. Mit Zurücklegen: 5/9 × 5/9 = 25/81, etwa 30,9 %.

Was ist der Unterschied zwischen Ziehen mit und ohne Zurücklegen?

Mit Zurücklegen beginnt jede Ziehung mit derselben Vase, also sind die Ziehungen unabhängig und die Wahrscheinlichkeiten bleiben gleich. Ohne Zurücklegen ändert sich die Vase nach jeder Ziehung, also hängt jede Wahrscheinlichkeit davon ab, was vorher gezogen wurde.

Warum multipliziert man die Wahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm?

Weil die zweite Wahrscheinlichkeit ein Anteil der ersten ist. Von allen Runden beginnen 5/9 mit einer roten Murmel, und von diesen gehen 4/8 mit einer zweiten roten weiter: Die Hälfte von fünf Neunteln ist 5/18.

Spielt die Reihenfolge der Ziehungen eine Rolle?

Nicht für die Wahrscheinlichkeit einer Kombination. „Erst rot, dann blau“ und „erst blau, dann rot“ haben beide die Wahrscheinlichkeit 20/72 (5/9 × 4/8 und 4/9 × 5/8): dieselben Zahlen, in anderer Reihenfolge multipliziert. Genau eine rote ist die Summe beider Pfade: 40/72 = 5/9.

Wird dabei etwas hochgeladen?

Nein. Alles wird in Ihrem Browser berechnet und auf einer Leinwand gezeichnet. Speichern lädt ein PNG herunter. Bearbeiten öffnet das Bild im PictorX-Editor.

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