Buffons Nadel kostenlos | π durch fallende Nadeln schätzen

Wie es funktioniert

Öffnen Sie diese Seite und drücken Sie auf Wiedergabe. Die Nadeln fallen zufällig auf die Linien.
Sehen Sie zu, wie sich π einpendelt. Ist die Nadel halb so lang wie der Abstand, ist es Würfe geteilt durch Kreuzungen.
Öffnen Sie das Sinusdiagramm, legen Sie eine Nadel von Hand oder lassen Sie tausend auf einmal fallen, und speichern Sie dann ein PNG.

Zwei Zahlen entscheiden über eine Kreuzung

Ein Wurf ist durch den Abstand x von der Mitte der Nadel zur nächsten Linie und durch den Winkel θ zwischen Nadel und Linien festgelegt. x reicht von 0 bis d/2. θ reicht von 0 bis π, denn eine Nadel hat keinen Kopf, und eine halbe Drehung deckt jede Richtung ab. Die Nadel kreuzt eine Linie, wenn x ≤ (l/2) sin θ.

Die Formel für die kurze Nadel

Für l ≤ d ist die Wahrscheinlichkeit einer Kreuzung P = 2l/(πd). Die Paare (θ, x) füllen ein Rechteck, das π breit und d/2 hoch ist. Die Kreuzungen bilden die Fläche unter der Sinuskurve, und diese Fläche ist l. Teilt man die beiden Flächen, bleibt π im Nenner. Bei l = d/2 ist die Wahrscheinlichkeit 1/π, also ist π ungefähr Würfe geteilt durch Kreuzungen.

Ein langsamer Weg zu π

Umgestellt lautet die Formel π ≈ 2l·N / (d·N_hit). Das ist eine Monte-Carlo-Schätzung, und zwar eine ineffiziente. Nach einigen tausend Würfen sind die ersten Ziffern meist erkennbar. Die nächste Ziffer erfordert eine viel größere Zahl. Das ± neben der Anzeige ist ein Standardfehler des Verhältnisses. Ziehen Sie auf dem Boden, um eine einzelne Nadel zu legen und ihr x und θ zu sehen. Diese Nadel wird gezeichnet, aber nicht mitgezählt.

Häufig gestellte Fragen

Was ist Buffons Nadel?

Eine Nadel der Länge l, die auf parallele Linien im Abstand d fällt. Für eine kurze Nadel, l ≤ d, kreuzt sie mit der Wahrscheinlichkeit 2l/(πd) eine Linie.

Warum steckt π in der Antwort?

Die Richtung der Nadel ist ein Winkel von 0 bis π. Alle möglichen Würfe füllen ein Rechteck dieser Breite, und die Kreuzungen sind die Fläche unter einer Sinuskurve. Teilt man diese Flächen, bleibt π im Nenner.

Wie schätzt das Experiment π?

Zählen Sie die Würfe N und die Kreuzungen N_hit. Dann gilt π ≈ 2l·N / (d·N_hit). Ist die Nadel halb so lang wie der Abstand, ist das Würfe geteilt durch Kreuzungen.

Warum wird eine von Hand gelegte Nadel nicht mitgezählt?

Die Schätzung braucht eine zufällige Lage und einen zufälligen Winkel. Eine Nadel, die Sie per Ziehen platzieren, wird gezeichnet, damit Sie x und θ sehen, aber nicht zu N oder N_hit addiert.