مسألة مونتي هول
خلف أحد ثلاثة أبواب سيارة، وخلف البابين الآخرين ماعز. تختار بابًا. يفتح المقدّم، الذي يعرف مكان السيارة، بابًا آخر ويُظهر عنزة. هل عليك أن تبدّل إلى آخر باب مغلق؟ يقول معظم الناس إن الأمر سيّان. لكنه ليس كذلك: التبديل يضاعف فرصتك في الفوز، من 1/3 إلى 2/3. انقر على باب. مونتي، الذي يعرف مكان السيارة، يفتح بابًا آخر خلفه عنزة. ثم ابقَ على بابك أو بدّل إلى الباب الذي تركه مغلقًا. التبديل يربح مرتين من كل ثلاث. اضغط «لعب تلقائي» ليلعب الحاسوب 1000 لعبة، وشاهد نسب الفوز تستقر عند 1/3 و2/3.
كيف يعمل
- انقر على باب. يفتح مونتي بابًا آخر خلفه عنزة.
- ابقَ على بابك أو بدّل إلى الباب المغلق الآخر، وانظر ماذا ربحت.
- اضغط «لعب تلقائي» لتشغيل 1000 لعبة، وشاهد نسب الفوز تستقر عند 1/3 للبقاء و2/3 للتبديل.
لماذا يربح التبديل
اختيارك الأول صحيح باحتمال 1/3، وعندها يخسر التبديل. وهو خاطئ باحتمال 2/3، وعندها تكون السيارة خلف أحد البابين الآخرين. على مونتي أن يفتح الباب الذي خلفه العنزة، لذا فالباب الذي يتركه مغلقًا يخفي السيارة. يربح التبديل تمامًا عندما يكون اختيارك الأول خاطئًا: مرتين من كل ثلاث.
نسخة المئة باب
تخيّل 100 باب. تختار واحدًا، فيفتح مونتي 98 من الأبواب الأخرى، كلها ماعز، ويترك بابًا واحدًا مغلقًا. هل ستتمسك بتخمينك الأول الذي كانت فرصته 1 من 100؟ التبديل الآن يربح 99 مرة من 100. ومع ثلاثة أبواب يعطي التفكير نفسه 2/3. جرّب الحالتين بإعداد «الأبواب».
الأمر يتوقف على ما يعرفه مونتي
يحتاج هذا الاستدلال إلى مقدّم يعرف مكان السيارة ويفتح دائمًا بابًا خلفه عنزة. إذا فتح مونتي أحد الأبواب الأخرى عشوائيًا، فإنه يكشف السيارة أحيانًا وتفسد اللعبة. وفي الألعاب التي يُظهر فيها عنزة بالمصادفة، يربح البقاء والتبديل كلٌّ منهما في نصف المرات. اختر «مونتي ينسى مكان السيارة» وشاهد العمودين يستقران عند 50%.
لغز خدع علماء الرياضيات
سُمّي اللغز باسم مونتي هول، مقدّم برنامج المسابقات الأمريكي «Let's Make a Deal». واشتهر عام 1990 حين أجابت عنه مارلين فوس سافانت في مجلة «باريد»: بدّل. كتب إليها آلاف القرّاء يقولون إنها مخطئة، وكثير منهم يحملون الدكتوراه. حتى بول إيردوس، أحد أغزر علماء الرياضيات إنتاجًا في القرن، لم يقتنع إلا حين رأى محاكاة حاسوبية.
الأسئلة المتداولة
هل ينبغي أن تبدّل في مسألة مونتي هول؟
نعم. يربح التبديل باحتمال 2/3 والبقاء باحتمال 1/3، ما دام المقدّم يعرف مكان السيارة ويفتح دائمًا بابًا خلفه عنزة.
لماذا لا تصبح الفرص 50/50 بعد فتح باب؟
لأن اختيار المقدّم ليس عشوائيًا: فهو لا يفتح بابك أبدًا ولا باب السيارة أبدًا. وعندما يقع اختيارك الأول على عنزة، وهو ما يحدث في 2/3 المرات، يُضطر إلى ترك باب السيارة مغلقًا. فالبابان المغلقان ليسا متساويين في الاحتمال.
ماذا يحدث إذا لم يعرف مونتي مكان السيارة؟
عندها يفتح أحيانًا باب السيارة دون قصد. وفي الألعاب التي يصادف فيها أن يفتح بابًا خلفه عنزة، يربح البقاء والتبديل كلٌّ منهما في نصف المرات. جرّب «يفتح الأبواب عشوائيًا».
كم لعبة يلزم لرؤية 2/3؟
بعد 100 لعبة قد تبتعد نسب الفوز عشر نقاط مئوية أو أكثر. وبعد 1000 لعبة تكون عادةً على بُعد نحو أربع نقاط من 1/3 و2/3، وبعد 10,000 لعبة على بُعد نقطة أو نقطتين.
هل يُرفع شيء؟
لا. كل شيء يُحسب ويُرسم على لوحة رسم في متصفحك. «حفظ» ينزّل ملف PNG. «تحرير» يفتح تلك الصورة في محرر PictorX.
الأدوات ذات الصلة
مسألة مونتي هول
شرح مسألة مونتي هول: لماذا يربح التبديل في 2/3 المرات، وجدول بكل الحالات، ومبرهنة بايز، ونسخة الأبواب الكثيرة، والمقدّم الذي لا يعرف، وجدل عام 1990.
مفارقة عيد الميلاد
في مجموعة من 23 شخصًا يبلغ احتمال أن يشترك اثنان في عيد الميلاد 50.7%، ومع 57 شخصًا يبلغ 99%. شاهد الأزواج الـ253 كلها والتقويم والمنحنى، واختبر آلاف المجموعات العشوائية في متصفحك.
كرات من المزهرية
اسحب كرات من مزهرية دون أن تنظر ودون أن تعيدها. تابع كل سحبة على مخطط شجري: 5/9 × 4/8 = 5/18 لكرتين حمراوين. ثم دع الحاسوب يسحب 1000 جولة.
مغالطة المقامر
ارمِ عملة عادلة 100 مرة في الثانية وشاهد ما يأتي بعد كل مرة تظهر فيها الصورة 5 أو 8 مرات متتالية. لا يزال الاحتمال 50/50: العملة لا ذاكرة لها.
عدّ الأوراق بنظام Hi-Lo
تعلّم عدّ الأوراق بنظام Hi-Lo على طاولة بلاك جاك في متصفحك: +1 أو 0 أو −1 لكل ورقة، والعدّ الجاري، والعدّ الحقيقي، والرهان. تدرّب على العدّ، أو عُدّ رزمة كاملة، أو العب مليون جولة.
رمي النرد
ارمِ حجر نرد واحدًا أو اثنين أو ثلاثة ألف مرة، وقارن مخطط الأعمدة الذي يبيّن عدد مرات ظهور كل نتيجة بالتكرارات المتوقعة. واكتشف لماذا يكون 7 أكثر المجاميع شيوعًا.
π بطريقة مونت كارلو
ارمِ آلاف السهام العشوائية على مربع بداخله دائرة، وشاهد نسبة ما يسقط في الداخل تتحول إلى π. ابدأ وأوقف وتابع التقدير وهو يتقارب.
إبرة بوفون
أسقط الإبر على أرضية مخططة في متصفحك. عُدّ التقاطعات وشاهد تجربة بوفون عام 1777 وهي تقدّر π.
لوح غالتون
أسقط كرات عبر صفوف من الأوتاد وشاهد منحنى الجرس يملأ الخانات. غيّر الصفوف والانحياز وعدد الكرات، وقارن المتوسط والتشتت بالنظرية.
هل أنت مستعد لتجربتها؟
افتح PictorX في متصفحك - بدون تثبيت، ولا يلزم وجود بطاقة ائتمان للبدء.
الانتقال إلى المحرر