Monte-Carlo-π
Kann reiner Zufall eine exakte Zahl berechnen? Zeichnen Sie einen Kreis in ein Quadrat und werfen Sie zufällig Pfeile darauf. Der Kreis bedeckt π/4 des Quadrats, also landen etwa π/4 der Pfeile darin. Multiplizieren Sie diesen Anteil mit vier, und Sie haben einen Schätzwert für π. Je mehr Pfeile, desto näher kommt er: 3, dann 3,1, dann 3,14, dann 3,141… Drücken Sie Start, und Pfeile landen zufällig im Quadrat. Der Anteil, der im Kreis landet, ist π/4, also gilt π ≈ 4 × innen ÷ Pfeile. Je mehr Pfeile, desto genauer die Schätzung: Hundertmal so viele Pfeile bringen etwa eine richtige Ziffer mehr. Klicken Sie auf das Quadrat, um einen Pfeil von Hand zu werfen.
Wie es funktioniert
- Drücken Sie Start. Pfeile landen zufällig im Quadrat: blau im Kreis, rot außerhalb.
- Beobachten Sie den Zähler: π ≈ 4 × innen ÷ Pfeile. Die Ziffern, die schon mit π übereinstimmen, sind farbig.
- Erhöhen Sie das Tempo oder werfen Sie eine Million Pfeile auf einmal, und sehen Sie zu, wie sich die Schätzung im schmaler werdenden Band des Diagramms einpendelt.
Warum die Pfeile π finden
Das Quadrat hat die Seitenlänge 2, der Kreis darin den Radius 1. Das Quadrat hat die Fläche 4, der Kreis die Fläche π × 1² = π. Ein Pfeil, der mit gleicher Wahrscheinlichkeit überall im Quadrat landen kann, landet mit der Wahrscheinlichkeit π/4 im Kreis, also in etwa 78,5 % der Fälle. Zählen Sie die Pfeile, zählen Sie die Treffer, und 4 × Treffer ÷ Pfeile schätzt π. Mit dem Viertelkreis geht es genauso: Ein Viertel eines Kreises mit Radius 1 in einem Quadrat mit Seitenlänge 1 bedeckt ebenfalls π/4 davon.
Das Gesetz der großen Zahlen
Ein einzelner Pfeil sagt nichts: Er ergibt 4 oder 0. Hundert Pfeile ergeben etwa 3,0 oder 3,3. Zehntausend Pfeile liegen meist nur wenige Hundertstel neben π. Das Gesetz der großen Zahlen besagt, dass der Anteil der Treffer π/4 immer näher kommt, je mehr Pfeile fallen. Deshalb konvergiert die Schätzung gegen π.
Warum es langsam konvergiert
Der typische Fehler nach N Pfeilen beträgt etwa 1,64/√N. Um den Fehler zu halbieren, brauchen Sie viermal so viele Pfeile, und eine richtige Ziffer mehr kostet hundertmal so viele. Das schattierte Band im Diagramm enthält 95 % aller Durchläufe und wird schmaler wie 1/√N. Bei einer Million Pfeilen bleibt ein Fehler von etwa 0,0016: drei oder vier richtige Nachkommastellen.
Monte-Carlo-Methoden
Die Methode ist nach dem Spielcasino in Monaco benannt. In den 1940er-Jahren verfolgten Stanislaw Ulam und John von Neumann mit Zufallsstichproben Neutronen auf ihrem Weg durch Materie, ein Problem, das für Formeln zu verwickelt war. Heute bewerten Monte-Carlo-Simulationen Finanzoptionen, berechnen das Licht in Animationsfilmen, sagen das Wetter vorher und testen Medikamente. Pfeile auf einen Kreis zu werfen, ist das einfachste Beispiel für die Idee: eine schwierige Rechnung durch viele Zufallsexperimente ersetzen.
Häufig gestellte Fragen
Wie berechnen zufällige Pfeile π?
Der Kreis bedeckt π/4 des Quadrats um ihn herum. Landen die Pfeile gleichmäßig zufällig verteilt, trifft etwa π/4 von ihnen den Kreis. Das Vierfache des Trefferanteils ist also ein Schätzwert für π.
Wie viele Pfeile brauche ich für 3,14?
Meist einige Zehntausend. Der Fehler schrumpft wie 1,64/√N: Bei 10.000 Pfeilen liegt die Schätzung typischerweise etwa 0,016 daneben, bei 1.000.000 Pfeilen etwa 0,0016. Jede weitere richtige Ziffer kostet hundertmal so viele Pfeile.
Ist das dasselbe wie Buffons Nadel?
Beide schätzen π mithilfe des Zufalls. Bei Buffons Nadel fallen Nadeln auf Linien, und man zählt die Kreuzungen; die Monte-Carlo-Methode wirft Punkte auf einen Kreis. Die Pfeile sind leichter zu verstehen und konvergieren schneller: Bei gleich vielen Würfen ist der Fehler etwa ein Drittel so groß wie bei Buffons Experiment mit der halben Nadel.
Sind die Pfeile wirklich zufällig?
Sie stammen aus dem Pseudozufallszahlengenerator Ihres Browsers, und der ist für dieses Experiment mehr als gut genug. Jeder Durchlauf ist anders. Deshalb wandert die Schätzung, bevor sie sich einpendelt.
Wird dabei etwas hochgeladen?
Nein. Alles wird in Ihrem Browser berechnet und auf eine Leinwand gezeichnet. „Speichern“ lädt ein PNG herunter. „Bearbeiten“ öffnet dieses Bild im PictorX-Editor.
Verwandte Tools
Die Monte-Carlo-Methode und π
Wie zufällige Pfeile π schätzen: das Flächenargument hinter 4 × innen ÷ Pfeile, das Gesetz der großen Zahlen, warum der Fehler wie 1/√N schrumpft und woher die Monte-Carlo-Methoden kommen.
Buffons Nadel
Lassen Sie im Browser Nadeln auf einen Boden mit Linien fallen. Zählen Sie die Kreuzungen und sehen Sie zu, wie Buffons Experiment von 1777 π schätzt.
Würfeln
Werfen Sie einen, zwei oder drei Würfel tausendmal und vergleichen Sie im Balkendiagramm, wie oft jedes Ergebnis kam, mit den erwarteten Häufigkeiten. Sehen Sie, warum 7 die häufigste Augensumme ist.
Galtonbrett
Lassen Sie Kugeln durch Reihen von Nägeln fallen und sehen Sie zu, wie eine Glockenkurve die Fächer füllt. Ändern Sie Reihen, Neigung und Zahl der Kugeln, und vergleichen Sie Mittelwert und Streuung mit der Theorie.
Spielerfehlschluss
Werfen Sie eine faire Münze 100-mal pro Sekunde und sehen Sie, was nach jeder Serie von 5 oder 8 Mal Kopf in Folge kommt. Es bleibt 50/50: Die Münze hat kein Gedächtnis.
Das Ziegenproblem
Das Ziegenproblem zum Ausprobieren: Wählen Sie eine von drei Türen, sehen Sie zu, wie Monty eine Tür mit einer Ziege öffnet, und bleiben oder wechseln Sie dann. Spielen Sie selbst oder lassen Sie den Computer 1.000 Spiele spielen: Wechseln gewinnt in zwei von drei Fällen.
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