Das Ziegenproblem

Das Rätsel

Sie sind in einer Spielshow und dürfen eine von drei Türen wählen. Hinter einer Tür steht ein Auto, hinter den anderen Ziegen. Sie wählen eine Tür, sagen wir Nr. 1. Der Moderator, der weiß, was hinter den Türen ist, öffnet eine andere Tür, sagen wir Nr. 3, hinter der eine Ziege steht. Dann fragt er: Möchten Sie zu Tür Nr. 2 wechseln? Ist es von Vorteil zu wechseln?

Die Regeln sind entscheidend: Der Moderator öffnet immer eine Tür, nie Ihre und nie die mit dem Auto, und er bietet immer den Wechsel an.

Alle Fälle in einer Tabelle

Angenommen, Sie wählen immer Tür 1. Das Auto steht hinter Tür 1, 2 oder 3, jeweils mit Wahrscheinlichkeit 1/3.

Auto hinter 1: Monty öffnet 2 oder 3. Bleiben gewinnt, Wechseln verliert. Auto hinter 2: Monty muss 3 öffnen. Bleiben verliert, Wechseln gewinnt. Auto hinter 3: Monty muss 2 öffnen. Bleiben verliert, Wechseln gewinnt.

Bleiben gewinnt in einem der drei gleich wahrscheinlichen Fälle, Wechseln in zweien. An Tür 1 ändert sich nichts, wenn Monty eine Tür öffnet, also behält sie ihre 1/3, und die übrigen 2/3 gehen an die eine Tür, die er geschlossen lässt.

Der Satz von Bayes

Angenommen, Sie haben Tür 1 gewählt und Monty hat Tür 3 geöffnet. Bevor er sie öffnet, verbirgt jede Tür das Auto mit Wahrscheinlichkeit 1/3. Steht das Auto hinter Tür 1, öffnet er Tür 3 mit Wahrscheinlichkeit 1/2, weil er zwischen 2 und 3 wählen kann. Steht es hinter Tür 2, öffnet er Tür 3 mit Sicherheit. Steht es hinter Tür 3, öffnet er sie nie. Der Satz von Bayes gewichtet die anfänglichen Chancen mit diesen Wahrscheinlichkeiten:

P(Auto 1 | öffnet 3) = (1/3 · 1/2) / (1/3 · 1/2 + 1/3 · 1 + 1/3 · 0) = 1/3 P(Auto 2 | öffnet 3) = (1/3 · 1) / (1/2) = 2/3

Die Tür, die der Moderator geschlossen lässt, verbirgt das Auto doppelt so oft wie Ihre.

Mehr Türen

Bei n Türen wählen Sie eine, und der Moderator öffnet n − 2 Türen mit Ziegen, sodass eine andere Tür geschlossen bleibt. Bleiben gewinnt mit Wahrscheinlichkeit 1/n, Wechseln mit (n − 1)/n. Bei 100 Türen heißt Festhalten an Ihrem ersten Tipp, auf eine Chance von 1 % zu setzen, gegen einen Moderator, der unter 99 Türen eine ganz bestimmte sorgfältig gemieden hat. Die App geht bis zu 100 Türen.

Wenn der Moderator nichts weiß

Öffnet der Moderator die anderen Türen zufällig, ändert sich die Überlegung. Bei drei Türen zeigt er in einem Drittel der Fälle das Auto, und diese Spiele zählen nicht. In den übrigen Spielen gewinnen Bleiben und Wechseln jeweils in der Hälfte der Fälle: Eine Ziege hinter einer zufällig geöffneten Tür ist ein Hinweis, der es wahrscheinlicher macht, dass Ihre eigene Tür das Auto verbirgt, und zwar genau so viel, dass es 50:50 steht. Die Antwort hängt nicht nur davon ab, was Sie sehen, sondern auch davon, wie es dazu kam, dass es gezeigt wurde.

Die Kontroverse von 1990

Steve Selvin stellte das Rätsel 1975 in einem Leserbrief an The American Statistician vor und benannte es nach Monty Hall, dem Moderator von Let's Make a Deal. Berühmt wurde es im September 1990, als ein Leser es Marilyn vos Savant für ihre Kolumne in der Zeitschrift Parade schickte und sie antwortete: wechseln. Rund 10.000 Leser schrieben ihr, fast tausend davon mit Doktortitel, und die meisten erklärten ihr, sie liege falsch. Sie hatte recht. Paul Erdős wollte die Antwort nicht glauben, bis ihm ein Kollege eine Computersimulation zeigte, und genau das macht diese App.

In PictorX erkunden

Öffnen Sie das Ziegenproblem, und drei Türen warten auf Sie. Klicken Sie auf eine, sehen Sie zu, wie Monty eine Tür mit einer Ziege öffnet, und drücken Sie dann auf „Bleiben“ oder „Wechseln“, oder klicken Sie auf Ihre Tür oder die andere geschlossene. Die Statistik darunter zählt jedes Spiel, und das Diagramm zeigt die Gewinnquoten von Bleiben und Wechseln im Verlauf der Spiele, mit gestrichelten Linien bei den Werten der Theorie. „Automatisch spielen“ lässt bis zu 100.000 Spiele mit bis zu 2.000 pro Sekunde laufen, wobei je zur Hälfte geblieben und gewechselt wird oder immer eines von beiden. Wählen Sie 10 oder 100 Türen, um zu spüren, warum Wechseln gewinnt, oder lassen Sie Monty Türen zufällig öffnen und sehen Sie zu, wie der Vorteil verschwindet.