Galtonbrett
Kugeln fallen durch ein Dreieck aus Nägeln. An jedem Nagel prallt eine Kugel nach links oder rechts ab, wie beim Wurf einer Münze. Jeder Weg ist reiner Zufall, doch zusammen häufen sich die Kugeln in Form einer Glocke an. Diese Form ist die Binomialverteilung, und bei vielen Reihen wird sie zur Kurve der Normalverteilung. Die Kugeln fallen durch die Nägel und prallen an jedem nach links oder rechts ab. Die meisten Wege enden nahe der Mitte, also füllen sich die Fächer zu einer Glockenkurve. Schalten Sie Pascalsches Dreieck ein, um die Wege zu zählen, oder stellen Sie Neigung ein, damit jeder Abpraller zu einer Seite tendiert.
Wie es funktioniert
- Öffnen Sie diese Seite, und die Kugeln beginnen zu fallen. Sehen Sie zu, wie sich die mittleren Fächer zuerst füllen und die Glockenkurve wächst.
- Stellen Sie Reihen und Kugeln ein, oder verstellen Sie Neigung, damit jeder Abpraller zu einer Seite tendiert. Schalten Sie Pascalsches Dreieck ein, um die Wege zu zählen.
- Lesen Sie Mittelwert und Standardabweichung ab und vergleichen Sie sie mit ihren erwarteten Werten. Speichern Sie dann ein PNG.
Links oder rechts, zwölfmal
Bei 12 Reihen trifft eine Kugel auf 12 Nägel, und an jedem geht sie nach links oder rechts. Ihr Fach ergibt sich einfach daraus, wie oft sie nach rechts ging: von 0 ganz links bis 12 ganz rechts. Sechsmal rechts und sechsmal links, in beliebiger Reihenfolge, enden in der Mitte.
Warum sich die Mitte zuerst füllt
Ins Fach ganz links führt nur ein Weg: jedes Mal links. Ins mittlere Fach führen 924 Wege, denn 6 Abpraller nach rechts lassen sich auf 924 Arten auf 12 Abpraller verteilen. Diese Zahlen bilden das Pascalsche Dreieck, und sie geben den Fächern ihre Glockenform.
Mittelwert und Streuung
Bei fairen Abprallern liegt das durchschnittliche Fach bei der Hälfte der Reihen: 6 bei 12 Reihen. Die Streuung, die Standardabweichung, ist √(n·p·(1−p)), etwa 1,73 bei 12 Reihen. Stellen Sie Neigung auf 70 %, und die Glocke rutscht nach rechts, auf 8,4.
Häufig gestellte Fragen
Was ist ein Galtonbrett?
Ein Brett mit Reihen von Nägeln und Fächern unten. Francis Galton baute eines in den 1870er-Jahren, um zu zeigen, wie der Zufall eine Glockenkurve formt. Man nennt es auch Quincunx oder, auf Englisch, bean machine.
Warum entsteht eine Glockenkurve?
Jedes Fach sammelt die Wege mit einer bestimmten Zahl von Abprallern nach rechts. Wege mit etwa gleich vielen Abprallern nach rechts wie nach links sind bei Weitem am häufigsten, also füllen sich die mittleren Fächer am stärksten. Bei vielen Reihen sieht die Binomialverteilung genauso aus wie die Kurve der Normalverteilung.
Was bewirkt Neigung?
Sie legt die Wahrscheinlichkeit fest, mit der eine Kugel an jedem Nagel nach rechts abprallt. Bei 50 % sitzt die Glocke in der Mitte. Bei 70 % tendiert jeder Abpraller nach rechts, und die Glocke wandert hinüber, behält aber ihre Form.
Warum passen die Fächer nicht genau zur Kurve?
Jede Kugel nimmt einen neuen, zufälligen Weg. Bei wenigen Kugeln streuen die Fächer um die Kurve. Je mehr Kugeln Sie fallen lassen, desto genauer folgen sie ihr.
Wird dabei etwas hochgeladen?
Nein. Das Brett wird auf einer Leinwand in Ihrem Browser gezeichnet. Speichern lädt ein PNG herunter. Bearbeiten öffnet das Bild im PictorX-Editor.
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