मॉन्टी हॉल समस्या

तीन दरवाज़ों में से एक के पीछे कार है, बाकी दो के पीछे बकरियाँ। आप एक दरवाज़ा चुनते हैं। होस्ट, जिसे पता है कि कार कहाँ है, कोई दूसरा दरवाज़ा खोलकर बकरी दिखाता है। क्या आपको आख़िरी बंद दरवाज़े पर बदल लेना चाहिए? ज़्यादातर लोग कहते हैं कि इससे कोई फ़र्क नहीं पड़ता। फ़र्क पड़ता है: बदलने से आपकी जीतने की संभावना दोगुनी हो जाती है, 1/3 से 2/3। किसी दरवाज़े पर क्लिक करें। मॉन्टी, जिसे पता है कि कार कहाँ है, बकरी वाला कोई दूसरा दरवाज़ा खोलता है। फिर अपने दरवाज़े पर टिके रहें या उस दरवाज़े पर बदल लें जिसे उसने बंद छोड़ा है। बदलने से तीन में से दो बार जीत होती है। अपने-आप खेलें दबाएँ ताकि कंप्यूटर 1,000 गेम खेले, और देखें कि जीत की दरें 1/3 और 2/3 पर टिक जाती हैं।

यह कैसे काम करता है

किसी दरवाज़े पर क्लिक करें। मॉन्टी कोई दूसरा दरवाज़ा खोलता है जिसके पीछे बकरी है।
अपने दरवाज़े पर टिके रहें या दूसरे बंद दरवाज़े पर बदल लें, और देखें कि आपने क्या जीता।
1,000 गेम चलाने के लिए अपने-आप खेलें दबाएँ, और देखें कि जीत की दरें टिके रहने पर 1/3 और बदलने पर 2/3 पर टिक जाती हैं।

बदलना क्यों जीतता है

आपकी पहली पसंद 1/3 प्रायिकता से सही होती है, और तब बदलने से हार होती है। 2/3 प्रायिकता से वह गलत होती है, और तब कार बाकी दो दरवाज़ों में से किसी एक के पीछे होती है। मॉन्टी को बकरी वाला दरवाज़ा ही खोलना पड़ता है, इसलिए जो दरवाज़ा वह बंद छोड़ता है, उसके पीछे कार होती है। बदलना ठीक तब जीतता है जब आपकी पहली पसंद गलत थी: तीन में से दो बार।

सौ दरवाज़ों वाला रूप

100 दरवाज़ों की कल्पना करें। आप एक चुनते हैं, और मॉन्टी बाकी में से 98 खोल देता है, सब में बकरियाँ, और एक बंद छोड़ देता है। क्या आप अपने पहले अनुमान पर टिके रहेंगे, जिसकी संभावना 100 में 1 थी? अब बदलने से 100 में से 99 बार जीत होती है। तीन दरवाज़ों के साथ यही तर्क 2/3 देता है। दरवाज़े सेटिंग से दोनों आज़माएँ।

यह इस पर निर्भर है कि मॉन्टी क्या जानता है

इस तर्क के लिए ऐसा होस्ट चाहिए जिसे पता हो कि कार कहाँ है और जो हमेशा बकरी वाला दरवाज़ा खोले। अगर मॉन्टी बाकी दरवाज़ों में से कोई एक बेतरतीब खोलता है, तो कभी-कभी कार दिख जाती है और वह गेम बिगड़ जाता है। जिन गेम में संयोग से बकरी दिखती है, उनमें टिके रहना और बदलना दोनों आधी बार जीतते हैं। "मॉन्टी भूल जाता है कि कार कहाँ है" चुनें और देखें कि दोनों पट्टियाँ 50% पर टिक जाती हैं।

वह पहेली जिसने गणितज्ञों को चकमा दिया

यह पहेली अमेरिकी गेम शो Let's Make a Deal के होस्ट मॉन्टी हॉल के नाम पर है। यह 1990 में मशहूर हुई, जब मर्लिन वॉस सावंत ने परेड पत्रिका में इसका जवाब दिया: बदलिए। हज़ारों पाठकों ने लिखकर कहा कि वे गलत हैं, उनमें से कई डॉक्टरेट धारक थे। 20वीं सदी के सबसे विपुल गणितज्ञों में से एक, पॉल एर्डोश भी तभी माने जब उन्होंने कंप्यूटर सिमुलेशन देखा।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

क्या मॉन्टी हॉल समस्या में दरवाज़ा बदलना चाहिए?

हाँ। जब तक होस्ट को पता है कि कार कहाँ है और वह हमेशा बकरी वाला दरवाज़ा खोलता है, तब तक बदलना 2/3 प्रायिकता से जीतता है और टिके रहना 1/3 से।

एक दरवाज़ा खुलने के बाद यह 50/50 क्यों नहीं होता?

क्योंकि होस्ट का चुनाव बेतरतीब नहीं है: वह कभी आपका दरवाज़ा नहीं खोलता और कभी कार वाला दरवाज़ा नहीं। जब आपकी पहली पसंद बकरी होती है, जो 2/3 बार होता है, तो उसे कार वाला दरवाज़ा बंद ही छोड़ना पड़ता है। दोनों बंद दरवाज़ों की संभावना बराबर नहीं है।

अगर मॉन्टी को पता न हो कि कार कहाँ है, तो क्या होता है?

तब वह कभी-कभी गलती से कार वाला दरवाज़ा खोल देता है। जिन गेम में वह संयोग से बकरी वाला दरवाज़ा खोलता है, उनमें टिके रहना और बदलना दोनों आधी-आधी बार जीतते हैं। "दरवाज़े बेतरतीब खोलता है" आज़माएँ।

2/3 देखने के लिए कितने गेम चाहिए?

100 गेम के बाद भी जीत की दरें दस या उससे ज़्यादा प्रतिशत अंक दूर हो सकती हैं। 1,000 गेम के बाद वे आमतौर पर 1/3 और 2/3 से लगभग चार अंक के भीतर होती हैं, और 10,000 गेम के बाद एक या दो अंक के भीतर।

क्या कुछ अपलोड होता है?

नहीं। सब कुछ आपके ब्राउज़र में ही गणना करके कैनवास पर बनाया जाता है। सहेजें से PNG डाउनलोड होता है। संपादित करें से वह चित्र PictorX संपादक में खुलता है।