Il problema di Monty Hall
Dietro una di tre porte c’è un’auto, dietro le altre due ci sono capre. Scegli una porta. Il conduttore, che sa dov’è l’auto, apre un’altra porta e mostra una capra. Conviene cambiare con l’ultima porta chiusa? Quasi tutti dicono che non fa differenza. Invece sì: cambiare raddoppia la probabilità di vincere, da 1/3 a 2/3. Fai clic su una porta. Monty, che sa dov’è l’auto, apre un’altra porta con una capra. Poi tieni la tua porta o cambia con quella che ha lasciato chiusa. Cambiare vince due volte su tre. Premi Gioca automaticamente per far giocare al computer 1.000 partite e guarda le percentuali di vittoria assestarsi su 1/3 e 2/3.
Come funziona
- Fai clic su una porta. Monty apre un’altra porta con dietro una capra.
- Tieni la tua porta o cambia con l’altra porta chiusa, e scopri che cosa hai vinto.
- Premi Gioca automaticamente per avviare 1.000 partite e guarda le percentuali di vittoria assestarsi su 1/3 tenendo e su 2/3 cambiando.
Perché cambiare conviene
La tua prima scelta è giusta con probabilità 1/3, e allora cambiare fa perdere. È sbagliata con probabilità 2/3, e allora l’auto è dietro una delle altre due porte. Monty deve aprire quella con la capra, quindi la porta che lascia chiusa nasconde l’auto. Cambiare vince esattamente quando la prima scelta era sbagliata: due volte su tre.
La versione con cento porte
Immagina 100 porte. Ne scegli una, e Monty apre 98 delle altre, tutte con capre, lasciandone una chiusa. Terresti la tua prima scelta, che aveva una probabilità su 100? Ora cambiare vince 99 volte su 100. Con tre porte lo stesso ragionamento dà 2/3. Prova entrambi i casi con l’impostazione Porte.
Dipende da che cosa sa Monty
Il ragionamento richiede un conduttore che sappia dov’è l’auto e apra sempre una porta con una capra. Se Monty apre a caso una delle altre porte, a volte rivela l’auto e la partita è rovinata. Nelle partite in cui mostra per caso una capra, tenere e cambiare vincono entrambi metà delle volte. Scegli «Monty dimentica dov’è l’auto» e guarda le due barre assestarsi al 50%.
Un rompicapo che ha ingannato i matematici
Il rompicapo prende il nome da Monty Hall, conduttore del gioco a premi americano Let's Make a Deal. Divenne famoso nel 1990, quando Marilyn vos Savant rispose sulla rivista Parade: cambiate. Migliaia di lettori le scrissero che sbagliava, molti dei quali con un dottorato. Perfino Paul Erdős, uno dei matematici più prolifici del secolo, si convinse solo quando vide una simulazione al computer.
Domande frequenti
Conviene cambiare nel problema di Monty Hall?
Sì. Cambiare vince con probabilità 2/3 e tenere con 1/3, purché il conduttore sappia dov’è l’auto e apra sempre una porta con una capra.
Perché non è 50/50 dopo l’apertura di una porta?
Perché la scelta del conduttore non è casuale: non apre mai la tua porta e mai quella dell’auto. Quando la tua prima scelta è una capra, cosa che accade 2/3 delle volte, è costretto a lasciare chiusa la porta dell’auto. Le due porte chiuse non sono ugualmente probabili.
Che cosa succede se Monty non sa dov’è l’auto?
Allora a volte apre per sbaglio la porta dell’auto. Nelle partite in cui gli capita di aprire una porta con una capra, tenere e cambiare vincono ciascuno metà delle volte. Prova «Apre porte a caso».
Quante partite servono per vedere i 2/3?
Dopo 100 partite le percentuali di vittoria possono ancora scostarsi di dieci o più punti percentuali. Dopo 1.000 partite di solito sono entro circa quattro punti da 1/3 e 2/3, e dopo 10.000 partite entro uno o due.
Questo carica qualcosa?
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