몬티 홀 문제

퍼즐

여러분은 게임 쇼에 나가 세 문 중 하나를 고를 수 있습니다. 한 문 뒤에는 자동차가, 나머지 문 뒤에는 염소가 있습니다. 여러분은 문 하나, 예를 들어 1번을 고릅니다. 문 뒤에 무엇이 있는지 아는 진행자가 다른 문, 예를 들어 3번을 열고, 거기에는 염소가 있습니다. 그리고 묻습니다. "2번 문으로 바꾸시겠습니까?" 바꾸는 것이 유리할까요?

규칙이 중요합니다. 진행자는 항상 문을 하나 열지만, 여러분의 문과 자동차가 있는 문은 절대 열지 않으며, 항상 바꿀 기회를 줍니다.

모든 경우를 표로

항상 1번 문을 고른다고 합시다. 자동차는 1번, 2번, 3번 문 뒤에 각각 1/3의 확률로 있습니다.

자동차가 1번 뒤: 몬티는 2번이나 3번을 엽니다. 유지하면 이기고, 바꾸면 집니다. 자동차가 2번 뒤: 몬티는 3번을 열어야 합니다. 유지하면 지고, 바꾸면 이깁니다. 자동차가 3번 뒤: 몬티는 2번을 열어야 합니다. 유지하면 지고, 바꾸면 이깁니다.

똑같이 가능한 세 경우 중 유지는 한 경우에, 바꾸기는 두 경우에 이깁니다. 몬티가 문을 열어도 1번 문에 대해서는 아무것도 바뀌지 않으므로 1/3을 그대로 유지하고, 나머지 2/3은 그가 닫아 둔 단 하나의 문으로 갑니다.

베이즈 정리

1번 문을 골랐고 몬티가 3번 문을 열었다고 합시다. 문을 열기 전에는 각 문 뒤에 자동차가 있을 확률이 1/3입니다. 자동차가 1번 뒤에 있으면, 몬티는 2번과 3번 중에서 고를 수 있으므로 3번을 열 확률은 1/2입니다. 2번 뒤에 있으면 반드시 3번을 엽니다. 3번 뒤에 있으면 3번은 절대 열지 않습니다. 베이즈 정리는 사전 확률에 이 가능도들로 가중치를 줍니다.

P(자동차 1 | 3 열림) = (1/3 · 1/2) / (1/3 · 1/2 + 1/3 · 1 + 1/3 · 0) = 1/3 P(자동차 2 | 3 열림) = (1/3 · 1) / (1/2) = 2/3

진행자가 닫아 둔 문 뒤에 자동차가 있는 경우가 여러분의 문보다 두 배 많습니다.

더 많은 문

문이 n개면 여러분이 하나를 고르고, 진행자가 염소가 있는 문 n − 2개를 열어 다른 문 하나만 닫아 둡니다. 유지하면 1/n, 바꾸면 (n − 1)/n의 확률로 이깁니다. 문이 100개일 때 처음 선택을 고수한다는 것은, 99개 중 특정한 문 하나를 일부러 피한 진행자를 상대로 1%의 확률에 거는 셈입니다. 이 앱은 문을 100개까지 지원합니다.

진행자가 모를 때

진행자가 나머지 문을 무작위로 연다면 논리가 달라집니다. 문이 세 개일 때 진행자는 세 번에 한 번꼴로 자동차를 드러내고, 그런 게임은 세지 않습니다. 남은 게임에서는 유지와 바꾸기가 각각 절반의 확률로 이깁니다. 무작위로 연 문 뒤에서 염소를 봤다는 것은 여러분의 문 뒤에 자동차가 있을 가능성을 높이는 증거이고, 그 정도가 정확히 50 대 50을 만들 만큼입니다. 답은 무엇을 보았는지뿐 아니라, 그것이 어떻게 보이게 되었는지에도 달려 있습니다.

1990년의 논쟁

스티브 셀빈은 1975년 《The American Statistician》에 보낸 편지에서 이 퍼즐을 냈고, 《Let's Make a Deal》의 진행자 몬티 홀의 이름을 붙였습니다. 이 퍼즐은 1990년 9월, 한 독자가 잡지 《퍼레이드》의 메릴린 보스 사반트 칼럼에 이 문제를 보내고 그녀가 '바꿔야 한다'고 답하면서 유명해졌습니다. 약 10,000명의 독자가 편지를 보냈고, 그중 거의 1,000명이 박사였으며, 대부분 그녀가 틀렸다고 했습니다. 옳은 쪽은 그녀였습니다. 에르되시 팔은 동료가 컴퓨터 시뮬레이션을 보여 줄 때까지 답을 믿으려 하지 않았는데, 이 앱이 하는 일이 바로 그것입니다.

PictorX에서 살펴보기

몬티 홀 문제를 열면 세 개의 문이 기다립니다. 하나를 클릭하고 몬티가 염소가 있는 문을 여는 것을 본 뒤, '유지' 또는 '바꾸기'를 누르거나 처음 문 또는 닫혀 있는 다른 문을 클릭하세요. 아래 통계는 모든 게임을 세고, 차트는 게임이 쌓일수록 유지와 바꾸기의 승률이 어떻게 변하는지 이론값 위치의 점선과 함께 보여 줍니다. '자동 플레이'는 초당 최대 2,000게임 속도로 최대 100,000게임을 하며, 절반은 유지하고 절반은 바꾸거나 항상 한 가지만 합니다. 문을 10개나 100개로 골라 바꾸면 왜 이기는지 느껴 보거나, 몬티가 무작위로 문을 열게 해서 이점이 사라지는 것을 지켜보세요.