몬테카를로 π 시뮬레이터 | 무작위 다트로 원주율 추정하기

작동 원리

시작을 누르세요. 다트가 정사각형 안에 무작위로 떨어집니다. 원 안은 파란색, 원 밖은 빨간색입니다.
카운터를 지켜보세요. π ≈ 4 × 안쪽 ÷ 다트입니다. 이미 π와 일치하는 자릿수는 색으로 표시됩니다.
속도를 높이거나 다트 100만 개를 한꺼번에 던져, 그래프에서 점점 좁아지는 띠 안에 추정값이 자리 잡는 모습을 보세요.

다트가 π를 찾아내는 이유

정사각형의 한 변의 길이는 2이고, 그 안의 원의 반지름은 1입니다. 정사각형의 넓이는 4이고 원의 넓이는 π × 1² = π입니다. 정사각형의 어느 곳에나 같은 확률로 떨어지는 다트는 확률 π/4, 즉 약 78.5%로 원 안에 들어갑니다. 다트를 세고 명중을 세면 4 × 명중 ÷ 다트로 π를 추정할 수 있습니다. 사분원도 마찬가지입니다. 한 변이 1인 정사각형 안에 있는 반지름 1인 사분원도 정사각형의 π/4를 차지합니다.

큰 수의 법칙

다트 하나로는 아무것도 알 수 없습니다. 결과는 4 아니면 0입니다. 다트 100개는 3.0이나 3.3 정도를 줍니다. 다트 1만 개면 보통 π와의 차이가 100분의 몇 이내입니다. 큰 수의 법칙에 따르면 다트 수가 늘어날수록 명중 비율이 π/4에 점점 더 가까워지므로, 추정값은 π로 수렴합니다.

수렴이 느린 이유

다트 N개를 던진 뒤의 전형적인 오차는 약 1.64/√N입니다. 오차를 절반으로 줄이려면 다트가 4배 필요하고, 맞는 자릿수를 하나 늘리려면 100배가 필요합니다. 그래프의 음영 띠는 전체 실행의 95%를 담고 있으며 1/√N처럼 좁아집니다. 다트 100만 개를 던져도 오차는 약 0.0016으로, 소수점 아래 서너 자리가 맞는 정도입니다.

몬테카를로 방법

이 방법의 이름은 모나코의 카지노에서 따왔습니다. 1940년대에 스타니스와프 울람과 존 폰 노이만은 수식으로 풀기에는 너무 복잡한 문제였던 물질 속 중성자의 움직임을 무작위 표본추출로 추적했습니다. 오늘날 몬테카를로 시뮬레이션은 금융 옵션의 가격을 매기고, 애니메이션 영화의 빛을 렌더링하고, 날씨를 예보하고, 약을 시험하는 데 쓰입니다. 원에 다트를 던지는 것은 이 아이디어의 가장 간단한 예입니다. 어려운 계산을 수많은 무작위 실험으로 대신하는 것이지요.