도박사의 오류
앞면이 여덟 번 연속 나왔다면 이제는 뒷면이 나올 차례 아닐까요? 아닙니다. 동전에는 기억이 없고, 다음에 앞면이 나올 확률은 여전히 정확히 50%입니다. 이 시뮬레이터는 동전을 저절로 1초에 100번 던지고, 모든 연속을 기록하며, 각 연속 바로 뒤에 무엇이 나왔는지 보여 줍니다. 공정한 동전이 저절로, 1초에 100번 던져집니다. 연속 길이를 정하고, 그만큼 긴 연속이 나올 때마다 바로 다음에 무엇이 나오는지 보세요. 연속이 아무리 길어도 대략 절반은 다시 같은 면이 나옵니다. 동전에는 기억이 없습니다. '연속 뒤의 던지기만'을 켜면 그런 순간을 하나하나 볼 수 있습니다. 동전을 클릭하면 한 번 던집니다.
작동 원리
- '던지기'를 누르고 동전이 계속 던져지게 두세요. 테이프에 최근 결과가 연속 표시와 함께 나타납니다.
- 연속 길이를 5 등으로 정하고 '연속 뒤의 던지기만'을 켜면 그런 순간을 하나하나 볼 수 있습니다.
- 그래프를 읽어 보세요. 연속의 길이가 얼마든, 다음 결과가 같은 경우는 대략 절반입니다.
동전에는 기억이 없다
공정한 동전의 각 던지기는 이전의 모든 던지기와 독립입니다. 동전은 방금 앞면이 여덟 번 나왔다는 사실을 모르고, 아홉 번째에 앞면이 나올 확률은 다른 어떤 던지기와 마찬가지로 ½입니다. 이제 뒷면이 나올 차례라고 믿는 것이 도박사의 오류입니다. 그 거울상, 즉 연속이 '뜨거우니까' 계속될 거라고 믿는 것도 동전에 대해서는 똑같이 틀렸습니다.
연속이 이상하게 느껴지는 이유
사람들은 무작위 수열이 실제보다 더 자주 앞면과 뒷면을 오갈 거라고 기대합니다. 100번 던지면 앞면이나 뒷면이 적어도 다섯 번 연속 나오는 경우가 거의 매번 생기고, 일곱 번 이상의 연속도 전체 수열의 약 절반에서 나타납니다. 이런 연속을 보면 우리는 어떤 패턴을 의심하고, 공정함에 대한 감각은 그것이 바로잡히기를 바랍니다. 동전에는 그런 충동이 없습니다.
몬테카를로, 1913년
가장 유명한 사례는 1913년 8월 18일 몬테카를로 카지노에서 일어났습니다. 룰렛 공이 26번 연속으로 검은색에 떨어진 것입니다. 도박사들은 연속이 끝날 수밖에 없다고 확신하며 빨간색에 걸었다가 큰돈을 잃었습니다. 빨간색이 나올 확률은 매번 같았습니다. 37칸 중 18칸, 절반보다 조금 적은 값입니다.
그렇다면 왜 균형이 맞춰질까?
많이 던지면 앞면의 비율은 실제로 50%에 가까워집니다. 하지만 뒷면이 따라잡기 때문이 아닙니다. 초반에 앞면이 몇 번 앞선 것은 그 뒤에 이어지는 수천 번의 던지기에 그냥 묻혀 버립니다. 앞면과 뒷면 횟수의 차이는 오히려 대략 √N처럼 커지는 경향이 있지만, 비율은 안정됩니다. 이것이 큰 수의 법칙이며, 여기에 기억은 필요 없습니다.
자주 묻는 질문
도박사의 오류란 무엇인가요?
한 결과가 연속으로 나온 뒤에는 다른 결과가 나올 가능성이 커진다는 잘못된 믿음입니다. 예를 들어 앞면이 많이 나왔으니 이제 뒷면이 나올 차례라고 생각하는 것입니다. 동전 던지기 같은 독립 사건에서는 확률이 변하지 않습니다.
앞면이 8번 연속 나온 뒤 앞면이 나올 확률은?
공정한 동전이라면 정확히 50%입니다. 첫 던지기 전에 보면 앞면이 여덟 번 연속 나올 확률은 1/256이지만, 일단 일어난 뒤라면 다음 던지기는 새로운 50/50입니다.
긴 연속에서는 왜 그래프가 정확히 50%가 아닌가요?
긴 연속은 드물어서 그 막대들은 적은 사례에 기대고 있어 흔들립니다. 오차 막대는 실행의 95%에서 참 확률을 포함할 범위를 보여 줍니다. 던지는 횟수가 늘수록 오차 막대는 50% 주변으로 줄어듭니다.
도박사의 오류는 핫 핸드와 같은 건가요?
정반대입니다. 도박사의 오류는 연속이 끝날 거라고 기대하고, 핫 핸드 믿음은 연속이 이어질 거라고 기대합니다. 공정한 동전에서는 둘 다 틀렸습니다. 농구 선수 같은 사람에게 정말 핫 핸드가 있을 수 있는지는 아직 논쟁 중입니다.
무언가 업로드되나요?
아니요. 모든 계산과 그리기는 브라우저의 캔버스에서 이루어집니다. 저장은 PNG를 받습니다. 편집은 그 이미지를 PictorX 편집기에서 엽니다.
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도박사의 오류
동전에 기억이 없는 이유: 독립 사건, 연속 전체의 확률과 다음 던지기의 확률, 1913년 몬테카를로 룰렛의 연속, 긴 연속이 얼마나 자주 나타나는지, 그리고 큰 수의 법칙에 보정이 필요 없는 이유.
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시도해 볼 준비가 되셨나요?
브라우저에서 PictorX를 엽니다. 설치가 필요 없고 시작하는 데 신용 카드가 필요하지 않습니다.
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