무료 뷔퐁의 바늘 | 바늘을 떨어뜨려 π 추정하기

작동 원리

이 페이지를 열고 재생을 누르세요. 바늘이 선 위로 무작위로 떨어집니다.
π가 자리 잡는 과정을 지켜보세요. 바늘이 간격의 절반이면 π는 던진 횟수 ÷ 교차 횟수입니다.
사인 도표를 열거나, 바늘 하나를 손으로 놓거나, 천 개를 한꺼번에 떨어뜨린 다음 PNG로 저장하세요.

두 수가 교차를 결정한다

한 번의 던지기는 바늘 중심에서 가장 가까운 선까지의 거리 x와 바늘과 선 사이의 각도 θ로 정해집니다. x는 0부터 d/2까지, θ는 0부터 π까지입니다. 바늘에는 머리가 없어서 반 바퀴만 돌아도 모든 방향을 다루기 때문입니다. x ≤ (l/2) sin θ이면 바늘이 선과 교차합니다.

짧은 바늘 공식

l ≤ d일 때 교차 확률은 P = 2l/(πd)입니다. (θ, x) 쌍은 너비 π, 높이 d/2인 직사각형을 채웁니다. 교차는 사인 곡선 아래의 넓이이고, 그 넓이는 l입니다. 두 넓이를 나누면 분모에 π가 남습니다. l = d/2이면 확률은 1/π이므로 π는 대략 던진 횟수 ÷ 교차 횟수입니다.

π를 찾는 느린 방법

식을 정리하면 π ≈ 2l·N / (d·N_hit)입니다. 이는 몬테카를로 추정이며, 효율이 낮은 방법입니다. 수천 번 던지면 보통 처음 몇 자리가 알아볼 만해집니다. 다음 자리는 훨씬 많은 횟수가 필요합니다. 표시값 옆의 ±는 비율의 표준 오차 하나입니다. 바닥을 드래그하면 바늘 하나를 놓고 그 x와 θ를 볼 수 있습니다. 그 바늘은 그려지지만 횟수에서는 빠집니다.