생일 역설
방에 몇 명이 있어야 생일이 같은 두 사람이 있을 가능성이 높을까요? 대부분의 사람은 180명쯤이라고 추측합니다. 답은 겨우 23명입니다. 이때 확률은 50.7%이고, 57명이면 벌써 99%입니다. 틀린 것처럼 느껴지는 이유는 우리가 자기 생일을 떠올리는 반면, 이 역설은 방 안의 모든 쌍에 관한 것이기 때문입니다. 겨우 23명인 그룹에서 두 사람의 생일이 같을 확률은 50.7%입니다. 너무 높게 들리는 이유는 우리가 자기 생일을 떠올리기 때문입니다. 나와 생일이 같은 사람이 있을 확률은 6%에 불과합니다. 하지만 23명이면 253쌍이 생기고, 어느 쌍이든 생일이 같을 수 있습니다. 클릭해 새 그룹을 만들고 쌍이 쌓이는 모습을 보거나, 사람을 한 명씩 추가하거나, 1,000개 그룹과 모든 인원수를 테스트해 곡선이 올라가는 모습을 보세요.
작동 원리
- 무대를 클릭하면 23명으로 된 새 그룹이 생깁니다. 사람들이 한 명씩 합류하고, 새 쌍이 생길 때마다 선이 하나씩 그려집니다.
- 달력을 보세요. 생일이 두 개 겹친 날이 밝게 빛나고, 메시지가 같은 생일을 알려 줍니다.
- 자동 테스트를 눌러 1,000개 그룹을 테스트하거나, 모든 인원수 테스트를 눌러 2명부터 100명까지 확률이 올라가는 모습을 보세요.
직관이 틀리는 이유
방 안에서 우리는 무의식적으로 자신을 기준으로 생각합니다. 나와 생일이 같은 사람이 있을 확률은 얼마일까? 1년이 365일이니 그 확률은 작아서, 다른 사람이 22명 있을 때 약 6%입니다. 하지만 이 역설은 어떤 두 사람이든 생일이 같은지를 묻습니다. A와 B, B와 C, A와 C 등입니다. 23명은 23 × 22 / 2 = 253쌍을 이루고, 그 하나하나가 생일이 일치할 기회입니다. 쌍의 수는 인원수의 제곱에 비례해 늘어나므로 확률이 급격히 올라갑니다.
계산
가장 쉬운 방법은 아무도 생일이 같지 않을 확률을 구해 100%에서 빼는 것입니다. 첫 번째 사람은 아무 날이나 됩니다. 두 번째 사람이 다른 날일 확률은 364/365, 세 번째 사람이 앞의 두 사람을 피할 확률은 363/365이고, 이런 식으로 계속됩니다. 23명이면 365/365 × 364/365 × 363/365 × … × 343/365 ≈ 49.3%입니다. 따라서 생일이 같은 사람이 적어도 한 쌍 있을 확률은 100% − 49.3% = 50.7%입니다.
나와 생일이 같은 사람
그룹 안에 여러분과 생일이 같은 사람이 있을 확률은 훨씬 천천히 늘어납니다. 1 − (364/365)ⁿ⁻¹인데, 쌍 가운데 여러분이 포함된 쌍은 n − 1개뿐이기 때문입니다. 23명이면 5.9%이고, 50%를 넘으려면 다른 사람이 253명 있어야 합니다. 질문을 '나와 생일이 같은 사람이 있음'으로 바꿔 두 곡선을 비교해 보세요.
암호학의 생일 공격
이 역설은 파티에서 하는 재미있는 이야기에 그치지 않습니다. 컴퓨터 보안에서는 생일 공격의 바탕이 됩니다. 해시가 같은 두 입력, 즉 충돌을 찾는 데 공격자에게 필요한 시도 횟수는 생각보다 훨씬 적습니다. 가능한 값이 N개인 해시라면, N번이 아니라 대략 √N번 시도한 뒤에 충돌이 일어날 가능성이 높아집니다. 그래서 해시와 디지털 서명은 √N번의 시도조차 불가능할 만큼 출력이 길어야 합니다. 128비트 해시라면 충돌을 찾는 데 약 2⁶⁴번의 시도가 필요합니다.
자주 묻는 질문
생일이 같은 사람이 있을 확률이 50%가 되려면 몇 명이 필요한가요?
23명입니다. 이때 확률은 50.7%입니다. 30명이면 70.6%, 41명이면 90.3%, 57명이면 99.0%, 70명이면 99.9%입니다.
왜 역설이라고 부르나요?
모순이 있는 것이 아니라 놀라울 뿐입니다. 답이 직관과 어긋나기 때문입니다. 대부분의 사람은 365의 절반쯤인 180명 정도가 필요하다고 추측합니다. 사람들을 서로 비교하는 대신 모두를 자기 자신과 비교하기 때문입니다.
2월 29일과 실제 생일은 어떤가요?
이 앱은 고전적인 문제와 마찬가지로 365일이 모두 똑같이 일어날 수 있다고 가정합니다. 실제 생일은 1년에 완전히 고르게 퍼져 있지 않으며, 고르지 않게 퍼져 있으면 생일이 같을 가능성이 줄어드는 것이 아니라 조금 늘어납니다.
생일이 같은 사람이 반드시 있는 것은 언제인가요?
366명일 때입니다. 날짜는 365일뿐이므로 비둘기집 원리에 따라 366명 중 적어도 두 명은 생일이 같아야 합니다. 그보다 훨씬 전에 사실상 확실해집니다. 100명이면 확률이 99.99997%입니다.
무언가 업로드되나요?
아니요. 모든 것은 브라우저 안에서 계산되고 캔버스에 그려집니다. 저장은 PNG를 받습니다. 편집은 그 이미지를 PictorX 편집기에서 엽니다.
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생일 역설
생일 역설 해설: 23명이면 생일이 같은 사람이 있을 확률이 50.7%가 되는 이유, 253쌍, 단계별 계산, 나와 생일이 같은 사람, 제곱근 법칙, 그리고 해시에 대한 생일 공격.
몬티 홀 문제
몬티 홀 문제를 직접 해 보세요. 세 문 중 하나를 고르고, 몬티가 염소가 있는 문을 열면 유지하거나 바꾸세요. 직접 플레이하거나 컴퓨터가 1,000게임을 하게 해서 바꾸면 세 번에 두 번 이긴다는 것을 확인하세요.
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보지 않고 꽃병에서 구슬을 꺼내고, 꺼낸 구슬은 다시 넣지 마세요. 꺼낼 때마다 수형도로 따라가 보세요. 두 구슬이 모두 빨간색일 확률은 5/9 × 4/8 = 5/18입니다. 그다음 컴퓨터가 1,000회를 꺼내게 해 보세요.
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